Joselane Rodrigues Santana de Abreu, Cristiana Gomes Nunes e Michelle Dysman
Este trabalho consiste de uma proposta para ensino de adição e
subtração através do uso de ábaco. Estas atividades foram desenvolvidas
para turmas de sexto ano nas quais diagnosticamos deficiências
relacionadas à aprendizagem das operações aritméticas. Para este nível o
material aqui apresentado pode ser aplicado ao longo de dois tempos de
aula. Pode-se, também, utilizar este material para ensino das operações
aritméticas no primeiro ciclo do fundamental, mas nesse caso
recomendamos que o trabalho seja feito de forma mais lenta, dividido em
várias aulas.
Os principais conteúdos envolvidos nas atividades aqui propostas são: sistema de numeração decimal e adição de naturais e subtração de naturais. Como resultados do desenvolvimento destas atividades em sala de aula vamoscapacitar o aluno a:
· Manusear o ábaco; · Identificar as ordens do Sistema de Numeração Decimal; · Entender o conceito de agrupamentos, reagrupamentos e valor posicional; · Compreender os algoritmos das operações de adição e subtração.
Os recursos necessários para o desenvolvimento
destas atividades são ábacos abertos (recomendamos um por aluno) e
fichas de acompanhamento (listas de exercícios que fornecemos neste
módulo). Através destas mesmas fichas de acompanhamento poderá ser feita
a avaliação do trabalho e a verificação de aprendizagem.
Objetivos
Conferir significado aos algoritmos da adição e subtração através da
associação de seus diversos passos com as etapas dos procedimentos
utilizados para efetuar estas operações no ábaco.
Aprimorar a compreensão dos alunos sobre adição e subtração.
Materiais utilizados
– Ábacos abertos (um por aluno ou dupla); – Listas de exercícios e acompanhamento fornecidas neste plano.
Etapas do trabalho
1ª atividade: o sistema de numeração decimal e o ábaco aberto 2ª atividade: relacionar a soma no ábaco ao algoritmo da adição 3ª atividade: relacionar a subtração no ábaco ao algoritmo desta operação (sem substituições) 4ª atividade: relacionar a subtração no ábaco ao algoritmo desta operação (com substituições)
Atividades
1ª atividade: o sistema de numeração decimal e o ábaco aberto
Objetivos: ensinar a
representação de números naturais no ábaco aberto ressaltando a relação
entre posição e valor dos algarismos no sistema decimal.
Materiais: ábaco aberto e ficha de acompanhamento 1 .
O sistema de numeração que utilizamos é o decimal, pois os
agrupamentos e reagrupamentos são feitos de dez em dez. Para a
utilização do ábaco precisamos compreender as regras básicas do sistema
de numeração decimal e, em particular, a ideia de valor posicional: o
mesmo algarismo pode representar valores diferentes dependendo da
posição que ocupa no número. Por exemplo, o algarismo 1 representa, no
número 10, uma dezena, já no número 100, representa uma centena. Essa
mesma relação do valor com a posição do algarismo pode ser observada na
representação dos números no ábaco aberto:
Assim, o ábaco aberto é o material concreto que usaremos para
representar o sistema de numeração decimal. É formado por um pino para
as unidades, um para as dezenas, um para as centenas e um para os
milhares (alguns ábacos abertos possuem ainda um pino para as dezenas de
milhares). Logo cada pino representa uma ordem.
1º PASSO – EXPLICAR AOS ALUNOS O SIGNIFICADO DE CADA PINO DO ÁBACO
· segure um ábaco vazio e uma argola; · coloque a argola no primeiro pino da direita (unidades); · pergunte aos alunos que número esta argola representa no ábaco; ·
repita o procedimento para cada um dos pinos (no segundo os alunos
devem responder que a argola representa 10, no terceiro 100 e assim por
diante).
É fundamental que os alunos compreendam muito bem que cada pino representa uma ordem, uma quantidade diferente.
No ábaco realizamos operações básicas tais como: adição, subtração,
multiplicação e divisão. Neste módulo instrucional trabalharemos somente
com adição e subtração. Para a utilização do ábaco os alunos devem
compreender que sempre que temos dez argolas agrupadas em um pino,
devemos substituí-las por uma argola no pino seguinte (à esquerda).
2º PASSO – ENSINAR A UTILIZAR O ÁBACO
O professor deve explicar aos alunos que em cada pino só pode haver
no máximo nove argolas, e que quando tivermos dez argolas devemos
substituí-las por uma argola no pino seguinte. Em seguida deve
exemplificar apresentando tais substituições no ábaco: Devemos
substituir 10 unidades por 1 dezena.
Devemos substituir 10 dezenas por 1 centena.
Devemos substituir 10 dezenas por 1 centena.
Da mesma forma 10 centenas por uma 1 milhar.
Em seguida o professor deve utilizar alguns exemplos para ensinar aos
alunos como representar os números no ábaco. Escreva o número no quadro
e pergunte aos alunos quantas unidades, quantas dezenas, quantas
centenas e quantos milhares devemos usar para representar este número no
ábaco. Oriente os alunos a representarem em seus ábacos o número dado. A
seguir apresentamos algumas possibilidades. Caberá ao professor
observar as respostas da turma para verificar se são necessários
exemplos adicionais. É importante atentar para números que usam o zero
em sua representação. Os alunos costumam errar nestes casos não deixando
o pino correspondente vazio
2ª atividade: relacionar a soma no ábaco ao algoritmo da adição
Para ensinar a adição utilizando o ábaco como recurso pedagógico, é
fundamental que o professor articule o trabalho feito sobre o ábaco com
as etapas do algoritmo da adição. Sem que esses dois processos sejam
realizados simultaneamente, corre-se o risco de que o aluno aprenda a
operar sobre o ábaco sem relacionar esta tarefa ao algoritmo que
desejamos ensinar (e assim o algoritmo continuaria sendo um processo
mecânico desprovido de significado). Veremos como trabalhar em sala de
aula para promover pelo uso do ábaco a compreensão do significado dos
diferentes passos do algoritmo de adição.
,
1º PASSO – ARMAR A CONTA
Primeiro o professor deve colocar no quadro um exemplo e armar a
conta colocando sobre cada algarismo a letra que representa sua ordem:
a) 12 + 9 =
(é importante colocar o zero antes do 9 e explicar aos alunos que isso significa que temos zero dezenas).
2º PASSO – REPRESENTAR A PRIMEIRA PARCELA NO ÁBACO
Em seguida o professor deve pedir aos alunos que representem o
primeiro número no ábaco. Logo que os alunos tenham realizado esta
tarefa o professor deve representar em seu próprio ábaco para que os
alunos confiram.
3º PASSO – ADICIONAR A SEGUNDA PARCELA NO ÁBACO
A seguir pede-se aos alunos que acrescentem 9 argolas às unidades para efetuar a soma.
4º PASSO – RELACIONAR A TROCA DE ARGOLAS AO “VAI-UM”
Pergunta-se quantas argolas ficaram no pino das unidades. Quando
responderem 11, perguntamos se podemos ficar com 11 argolas neste pino.
Devemos esclarecer que não, que só pode haver no máximo 9 argolas em
cada pino, e, portanto, devemos trocar dez argolas de unidades por uma
no pino das dezenas.
Simultaneamente explicamos no algoritmo: quando somamos duas unidades
mais nove unidades temos como resultado onze unidades, mas não podemos
escrever 11 na casa reservada às unidades, então, assim como
substituímos 10 unidades por uma dezena no ábaco, devemos “levar uma
dezena” para a casa das dezenas (é o “vai um”) e ficamos com uma unidade
apenas na casa das unidades. Então temos:
5º PASSO – OBSERVAR E REGISTRAR O RESULTADO
Observamos que o resultado no ábaco conta com duas argolas no pino das dezenas.
Voltamos ao algoritmo para terminar a conta explicando que a dezena
que levamos após a substituição se somou no ábaco à dezena proveniente
do 12:
6º PASSO – PRATICAR MAIS UM POUCO…
A seguir apresentamos mais alguns exemplos de soma. É importante que o
professor conduza o trabalho sempre trabalhando simultaneamente no
ábaco e no algoritmo, como explicamos acima. Repita com os alunos estes
procedimentos para que fiquem claros.
341 + 19 =
629 +81 =
800 + 308 =
1000 + 350 =
3ª atividade: relacionar a subtração no ábaco ao algoritmo desta operação (sem substituições)
Aqui valem as mesmas observações que fizemos quando tratamos da
adição: é fundamental que o professor articule o trabalho feito sobre o
ábaco com as etapas do algoritmo da subtração. Sem que esses dois
processos sejam realizados simultaneamente, corre-se o risco de que o
aluno aprenda a operar sobre o ábaco sem relacionar esta tarefa ao
algoritmo que desejamos ensinar (e assim o algoritmo continuaria sendo
um processo mecânico desprovido de significado).
1º PASSO – ARMAR A CONTA
Trabalharemos primeiro sobre um exemplo que não exige substituições. O
professor deve propor a operação e armar no quadro a conta:
64-23 =
2º PASSO – REPRESENTANDO O MINUENDO NO ÁBACO
Em seguida, no ábaco, junto com os alunos, representamos o 64 (o minuendo)
3º PASSO – SUBTRAÍMOS NO ÁBACO O SUBTRAENDO E RELACIONAMOS AO ALGORITMO
Subtraímos 3 argolas do pino das unidades e duas do pino das dezenas.
Realizamos na conta armada cada um dos passos equivalentes às
operações que executamos sobre o ábaco, sempre chamando a atenção para a
relação entre o movimento no ábaco e o procedimento na continha (“das
quatro argolas das unidades, tiramos três e ficamos com uma, das seis
argolas das dezenas, retiramos duas e ficamos com quatro”):
4ª atividade: relacionar a subtração no ábaco ao algoritmo desta operação (conta com substituições)
Em seguida devemos efetuar junto com os alunos algumas subtrações que
exijam substituições. Vamos trabalhar com o exemplo 640 – 42.
1º PASSO – ARMANDO A CONTA
Colocamos no quadro a operação e armamos a conta:
640 – 42 =
2º PASSO – REPRESENTANDO O MINUENDO NO ÁBACO
Junto com os alunos, representamos no ábaco o número 640;
3º PASSO – SUBTRAÍMOS NO ÁBACO O SUBTRAENDO E RELACIONAMOS AO ALGORITMO
Em seguida, propomos a retirada de duas unidades. Esperamos que os
alunos percebam que não há nenhuma argola no pino das unidades e então
propomos a eles que, para que consigamos subtrair as duas unidades é
preciso converter uma argola do pino das dezenas em dez argolas no pino
das unidades. Após a conversão, ficaremos com:
Agora podemos efetuar a subtração das duas unidades:
Devemos, nesse momento nos voltar para a conta armada e realizar as
etapas relacionadas ao que acabamos de fazer no ábaco. Explicamos que
não é possível subtrair duas unidades de zero, então “pedimos
emprestado” dez unidades para a casa das dezenas, da mesma forma como
transformamos no ábaco uma argola das dezenas em dez argolas nas
unidades:
Em seguida, precisamos subtrair quatro dezenas e nos deparamos com o
mesmo problema de antes: temos apenas 3 dezenas disponíveis. Fazemos no
ábaco a substituição necessária (trocando uma centena por dez dezenas) e
em seguida demonstramos esse processo no algoritmo:
Finalmente completamos a operação observando que não há centenas a subtrair, logo terminamos com 5 centenas:
4º PASSO – PRATICANDO MAIS UM POUCO…
Devemos resolver junto com os alunos tantos exemplos quantos sejam
necessários e, depois, propor que eles resolvam alguns sozinhos. A
seguir sugerimos dois outros exemplos para serem trabalhados como os
anteriores.
a) 500 – 208 =
b) 1500 – 350 =
Por fim, recomendamos a aplicação da ficha de acompanhamento sobre adição e subtração com o ábaco.
Michelle Dysman, Joselane Rodrigues Santana de Abreu
Este
módulo instrucional apresenta um método para ensino da divisão de
números naturais com uso do Material Dourado. Seu objetivo é tornar
significativa a aprendizagem desta operação aritmética. Aqui é
apresentado numa versão que se destina ao trabalho com alunos de sexto
ano, buscando atribuir significado ao algoritmo já visto anteriormente,
contudo pode ser adaptado para uma primeira apresentação da divisão.
Os principais conteúdos envolvidos nas atividades aqui propostas são: sistema decimal de numeração e a operação de divisão de números naturais.
Para este trabalho assumimos que, como pré-requisito, os alunos já estão familiarizados com o uso do material dourado para representação de números naturais (esta é uma sequência para o módulo instrucional Multiplicação com Material Dourado; caso o professor não tenha usado tal módulo com os alunos, recomendamos fortemente que antes aplicar este módulo sobre divisão, realize com os alunos as três etapas da primeira atividade do módulo Multiplicação com Material Dourado com objetivo de preparar o estudante para o uso do Material Dourado).
Como resultados do desenvolvimento destas atividades em sala de aula vamoscapacitar o aluno a:
· Aprimorar a compreensão de valor posicional no sistema decimal de numeração; . Atribuir significado aos passos do algoritmo usual para divisão; . Compreender melhor a operação divisão de números naturais.
Os recursos necessários para o desenvolvimento
destas atividades são o material dourado (recomendamos que cada aluno
receba um kit com a quantidade de peças necessária ao desenvolvimento
das atividades que serão propostas pelo professor) e ficha de
acompanhamento (lista de exercícios que também fornecemos neste módulo,
recomendamos uma por aluno). Através desta mesma ficha de acompanhamento
poderá ser feita a avaliação do trabalho e a verificação de
aprendizagem. Recomendamos ainda o uso de plástico adesivo transparente
para facilitar a exibição do trabalho feito pelo professor na lousa.
Objetivos
Conferir significado ao algoritmo da divisão de números naturais
através da associação de seus diversos passos com as etapas dos
procedimentos utilizados para efetuar esta operação com o material
dourado.
Aprimorar a compreensão dos alunos sobre divisão.
Materiais utilizados
– Material dourado (um kit por aluno);
– Plástico auto-adesivo transparente (um metro é suficiente, será
usado para possibilitar a fixação das peças no material dourado na
lousa; material não obrigatório);
Atividade pré-requisito: Atividade 1 do Módulo Instrucional Multiplicação com Material Dourado (se não usou este módulo com os alunos, realize com eles a primeira atividade do mesmo antes de iniciar o trabalho de divisão com material dourado);
1ª atividade: investigando a divisão com o material dourado;
2ª atividade: divisão com o material dourado e o algoritmo usual da divisão.
Atividades
1ª atividade: investigando a divisão com o material dourado
Objetivos: propiciar aos
alunos oportunidade para refletir sobre possíveis maneiras de efetuar
uma divisão natural com uso do material dourado.
Materiais: material dourado.
Conforme já indicamos anteriormente, assumimos que ao chegar nesta
atividade os alunos já tenham realizado a atividade 1 do Módulo
Instrucional Multiplicação com Material Dourado. Se achar necessário,
reveja com seus alunos o significado de cada peça do material e a
equivalência entre peças (10 cubos = 1 barra, 10 barras = 1 placa, e
assim por diante).
1º PASSO – INVESTIGANDO AS POSSIBILIDADES PARA DIVISÃO COM MATERIAL DOURADO
. Organize os alunos em grupos de 3 estudantes.
· Retire a folha de proteção do plástico
auto-adesivo e prenda-o na lousa de forma que a parte auto-colante
fique para fora e a parte sem cola fique encostada no quadro negro (você
pode usar para isso fita crepe ou utilizar o próprio adesivo do
plástico autocolante, virando os cantinhos para trás de forma que estes
cantinhos possam aderir à lousa). Neste plástico você poderá colar as
peças do material dourado para exibi-las aos alunos, como na ilustração
abaixo.
. Peça
aos alunos que separem de seus kits o material dourado necessário para
representar o número 134. Perguntando aos alunos quantas placas, barras e
cubos tomaram, separe este material e prenda no plástico adesivo que
está preso na lousa.
. Explique aos alunos que cada nosso
objetivo será dividir 134 por 3 e que eles devem buscar maneiras de
efetuar esta divisão separando o material dourado que representa 134 em 3
grupos de peças com quantidades idênticas.
. Deixe que os alunos busquem maneiras
de executar a divisão com o material dourado. Eles devem discutir em
grupo as possibilidades. Pode ser que num primeiro momento eles separem 3
grupos com uma barra em cada, um cubinho em cada e fiquem com uma placa
e um cubinho sobrando. Neste caso o professor deve lembrá-los de que
eles podem trocar a placa por barrinhas para que possam dividir também a
centena. Sobrando uma barrinha, eles devem perceber a possibilidade de
substituí-la por cubinhos para dividi-la também entre os grupos. Reserve
para esta etapa o tempo que for necessário para que os alunos possam
manipular bastante o material buscando as possibilidades (começar
dividindo os cubos; começar pelas barras, deixando troca para depois;
começar pelas barras efetuando logo as trocas que surgirem, etc.)
. Uma importante observação que deve
surgir é que, de qualquer maneira que se realize a divisão do material
dourado, devemos obter sempre o mesmo resultado (43) e o mesmo resto
(sempre sobrarão dois cubinhos).
. Depois que os alunos tiverem
encontrado formas eficientes para dividir usando o material dourado,
pedimos para que eles se concentrem em uma maneira que comece pelas
placas de centenas, depois passem para as barras de dezenas e por último
as unidades.
2º PASSO – REDIGINDO UM ALGORITMO PARA DIVIDIR USANDO O MATERIAL DOURADO
. Oriente os alunos a redigirem, em cada
grupo, um passo a passo que detalhe como fazer divisões por 3 com o
material dourado, seguindo as orientações dadas no final do passo
anterior (começar por centenas, etc.)
. Junto com os alunos redija na lousa um
passo a passo compilando o que os alunos fizeram em seus grupos.
Espera-se que no final tenhamos algo assim:
1 – Separamos as placas em três grupos com mesma quantidade;
2 – caso sobre alguma placa, trocamos cada placa restante por 10 barrinhas;
3 – tomamos todas as barrinhas (as originais e as que surgiram com troca de placas) e dividimos em 3 grupos idênticos;
4 – caso sobre alguma barrinha, trocamos cada barra restante por 10 cubinhos;
5- tomamos todos os cubinhos (os originais e os que surgiram com troca de barras) e dividimos em 3 grupos idênticos;
6- caso sobre algum cubinho, a quantidade que sobrar será o resto da divisão;
7- em cada um dos 3 grupos idênticos temos a quantidade que equivale ao resultado da divisão.
Até aqui levamos os alunos a descobrir
um método para dividir usando o material dourado (fizemos divisão por 3,
mas o método encontrado é facilmente generalizável, como discutiremos
agora).
. Perguntamos aos alunos que
modificações precisaríamos fazer se quiséssemos dividir por 5, ou
qualquer outro número em vez de 3. Eles devem rapidamente responder que
bastaria ter separado as peças em 5 grupos em vez de 3, ou tantos grupos
quantos nosso divisor exigisse.
. Para testar o algoritmo, realize na
lousa, com a participação de todos os alunos, uma divisão como 432 : 5,
seguindo passo a passo o algoritmo redigido (leia cada passo e realize
com as peças utilizando o plástico auto-adesivo colado na lousa, de
forma que os alunos possam todos participar; se conveniente, chame
alunos para participar da divisão feita na lousa).
Observe que todo o trabalho feito até
aqui é fácil e intuitivo. Mas ainda não fizemos qualquer associação com o
algoritmo usual para a divisão, fonte de enormes dificuldades para
nossos alunos. Para que este trabalho consiga tornar significativa a
aprendizagem do algoritmo usual da divisão a próxima atividade é
fundamental.
2ª atividade: divisão com o material dourado e o algoritmo usual da divisão
Objetivos:
Ensinar o algoritmo usual da divisão articulando dois registros de
representação para números naturais – registro numérico e registro com
material dourado. Esta articulação deve promover a compreensão das
etapas do algoritmo da divisão e propiciar que os alunos atribuam
significado a cada passo que efetuam na conta de dividir.
Materiais: material dourado, plástico auto-adesivo transparente (para a lousa) e ficha de acompanhamento.
Para atribuir significado ao algoritmo
da divisão vamos associá-lo ao algoritmos que acabamos de redigir junto
com os alunos para dividir com o material dourado. Para efetuar esta
articulação entre o material concreto e o algoritmo usual de forma
eficiente, nos valemos da observação detalhada das correspondências
entre as ações efetuadas sobre o material dourado e as respectivas
anotações nas contas de dividir realizadas de acordo com o algoritmo
usual.
Segue o passo a passo desta atividade.
1º PASSO – ARMAR A CONTA E REPRESENTAR O DIVIDENDO COM MATERIAL DOURADO
Para esta atividade o plástico
auto-adesivo deve estar colado logo acima do espaço reservado para a
conta (na foto abaixo o plástico cobre o divisor e o dividendo, isso não
é necessário, o plástico pode ser colado acima da conta).
O primeiro passo, após colar o plástico
auto-adesivo, é armar no quadro a operação proposta (vamos fazer 146
divididos por 3) logo baixo do plástico auto-adesivo (devemos
representar com as letras C, D e U as colunas de centenas, dezenas e
unidades, tanto sobre o dividendo, quanto sob o espaço para o quociente;
ver foto). Em seguida, perguntamos aos alunos como se representa 146
com o material dourado e colamos as peças no plástico auto-adesivo acima
do dividendo (para as ilustrações a seguir retiramos o plástico e
usamos uma superfície horizontal para evitar reflexos nas fotos, em sala
de aula o material dourado deve ser colado no plástico adesivo).
2º PASSO – DIVIDIR SIMULTANEAMENTE COM O MATERIAL DOURADO E NO ALGORITMO
1 – Separamos as placas em três grupos com mesma quantidade;
Há
apenas uma centena, logo ficamos com zero centenas no quociente e sobra
uma centena. Anotamos isso no algoritmo, conforme a foto abaixo.
2 – caso sobre alguma placa, trocamos cada placa restante por 10 barrinhas;
Sobrou uma placa. Trocamos esta placa por 10 barrinhas que ficarão coladas no local onde estava a placa:
3 – tomamos todas as barrinhas (as originais e as que surgiram com troca de placas) e dividimos em 3 grupos idênticos;
Tomar
todas as barrinhas corresponde ao “abaixa o quatro” que nos deixa com
14 barrinhas. Dividimos em 3 grupos de 4, escrevemos 4 na casa das
dezenas no quociente e sobram duas barrinhas ainda sobre o 4 como vemos
abaixo. Anotamos 2 sob o 4 no algoritmo:
4 – caso sobre alguma barrinha, trocamos cada barra restante por 10 cubinhos;
Sobraram 2 barrinhas. Elas serão trocadas por 20 cubinhos, como vemos abaixo.
5- tomamos todos os cubinhos (os originais e os que surgiram com troca de barras) e dividimos em 3 grupos idênticos;
Vamos
“abaixar o seis” e vemos que ficamos com 26 cubinhos. Depois estes
serão divididos em 3 grupos de 8 cubinhos. Anotamos 8 na casa das
unidades no quociente.
6- caso sobre algum cubinho, a quantidade que sobrar será o resto da divisão;
Vemos o resto já anotado na última ilustração.
7- em cada um dos 3 grupos idênticos temos a quantidade que equivale ao resultado da divisão.
Hora de registrar: As atividades da ficha de acompanhamento devem ser realizadas neste momento.
Joselane Rodrigues Santana de Abreu, Cristiana Gomes Nunes e Michelle Dysman
Este módulo instrucional apresenta um
método para ensino da multiplicação de números naturais com uso do
Material Dourado. Seu objetivo é tornar significativa a aprendizagem
desta operação aritmética. Aqui é apresentado numa versão que se destina
ao trabalho com alunos de sexto ano, buscando atribuir significado ao
algoritmo já visto anteriormente, contudo pode ser adaptado para uma
primeira apresentação da multiplicação.
Os principais conteúdos envolvidos
nas atividades aqui propostas são: sistema decimal de numeração e a
operação de multiplicação dos números naturais (nesta versão restrita a
multiplicador com um dígito).
Como resultados do desenvolvimento destas atividades em sala de aula vamoscapacitar o aluno a:
· Aprender a manusear o Material Dourado; · Aprimorar a compreensão de valor posicional no sistema decimal de numeração; . Atribuir significado aos passos do algoritmo usual para multiplicação; . Compreender melhor a operação multiplicação de números naturais.
Os recursos necessários
para o desenvolvimento destas atividades são o material dourado
(recomendamos que cada aluno receba um kit com a quantidade de peças
necessária ao desenvolvimento das atividades que serão propostas pelo
professor), folha-tabuleiro (disponível neste módulo, uma por aluno), um
metro de plástico transparente auto-adesivo para uso na lousa e fichas
de acompanhamento (listas de exercícios que também fornecemos neste
módulo). Através destas mesmas fichas de acompanhamento poderá ser feita
a avaliação do trabalho e a verificação de aprendizagem.
Objetivos
Conferir significado ao algoritmo da
multiplicação de números naturais através da associação de seus diversos
passos com as etapas dos procedimentos utilizados para efetuar esta
operação com o material dourado. Aprimorar a compreensão dos alunos sobre multiplicação.
Materiais utilizados
– Material dourado (um kit por aluno);
– Folha-tabuleiro (uma por aluno);
– Plástico auto-adesivo transparente (um metro é suficiente, será
usado para possibilitar a fixação das peças no material dourado na
lousa);
– Listas de exercícios e acompanhamento fornecidas neste plano.
Etapas do trabalho
1ª atividade: o sistema de numeração decimal e o material dourado; 2ª atividade: multiplicação com o material dourado e o algoritmo da multiplicação.
Atividades
1ª atividade: o sistema de numeração decimal e o material dourado
Objetivos:
apresentar o material dourado, ensinar a representação de números
naturais através do material dourado ressaltando a relação entre valor
posicional e os agrupamentos do sistema decimal, ensinar a encontrar os números naturais a que equivalem grupos com quantidades diversas de peças do material dourado.
Materiais: material dourado, folha tabuleiro e ficha de acompanhamento 1.
O sistema de numeração que utilizamos é o
decimal, pois os agrupamentos e reagrupamentos são feitos de dez em
dez. Para a utilização do material dourado precisamos compreender as
regras básicas do sistema de numeração decimal e, em particular, a ideia
do uso da posição dos dígitos como representação de agrupamentos: o
mesmo algarismo pode representar valores diferentes dependendo da
posição que ocupa no número, visto que cada posição equivale ao
agrupamento de uma quantidade diferente de unidades. Essa relação entre
posição e valor por agrupamento se traduz no material dourado como
ilustra a figura abaixo:
Assim, usaremos o material dourado como
material concreto para representar o sistema de numeração decimal neste
módulo instrucional. Ele é formado por cubinhos que representam a
unidade, barrinhas que correspondem ao agrupamento de 10 cubinhos e que
representam a dezena, e placas que correspondem ao agrupamento de dez
barrinhas e representam a centena. Adicionalmente alguns kits contém um
cubo grande que representa o milhar (correspondendo ao agrupamento de 10
placas de centena).
1º PASSO – EXPLICAR AOS ALUNOS O SIGNIFICADO DE CADA PEÇA DO MATERIAL DOURADO
· Retire a folha de proteção do plástico auto-adesivo e prenda-o na
lousa de forma que a parte auto-colante fique para fora e a parte sem
cola fique encostada no quadro negro (você pode usar para isso fita
crepe ou utilizar o próprio adesivo do plástico autocolante, virando os
cantinhos para trás de forma que estes cantinhos possam aderir à lousa).
Neste plástico você poderá colar as peças do material dourado para
exibi-las aos alunos, como na ilustração abaixo.
. Tome
um cubinho do material dourado e explique aos alunos que cada cubinho
como aquele vai representar uma unidade. Cole um cubinho na lousa (sobre
o plástico adesivo).
. Tome uma barrinha e cole na lousa.
Peça aos alunos que peguem uma barrinha em seus kits e que ao lado dela
posicionem tantos cubinhos quantos forem necessários para obter o mesmo
tamanho da barrinha. Pergunte quantos cubinhos equivalem a uma barrinha.
Eles devem responder que utilizaram 10 cubinhos para obter o mesmo
tamanho da barra. Ao lado da barrinha colada na lousa, cole dez cubinhos
mostrando que resulta no mesmo tamanho. Explique que, como foi
observado, a barrinha representa 10 unidades, o que significa uma
dezena.
. Proceda de forma análoga com a placa:
Tome uma placa e cole na lousa. Peça aos alunos que peguem uma placa em
seus kits e que ao lado dela posicionem tantas barrinhas quantas forem
necessárias para obter o mesmo tamanho da placa. Pergunte quantas
barrinhas equivalem à uma placa. Eles devem responder que utilizaram 10
barrinhas para obter o mesmo tamanho da placa. Ao lado da placa colada
na lousa, cole dez barrinhas mostrando que resulta no mesmo tamanho.
Explique que, como foi observado, a placa representa 10 dezenas, o que
significa uma centena.
. Se o professor tiver o kit com o cubo
que representa um milhar, pode proceder de forma análoga aos passos
acima para explicar o significado desta peça também.
É fundamental que os alunos compreendam
muito bem que cada peça do material dourado representa uma ordem, uma
quantidade diferente que corresponde sempre ao agrupamento de dez
unidades da ordem anterior.
Com o material dourado podemos realizar
operações básicas tais como: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Neste módulo instrucional trabalharemos somente com multiplicação.
2º PASSO – REPRESENTAR NÚMEROS NATURAIS COM O MATERIAL DOURADO
O ensino da representação dos números
naturais com o material dourado deve ser feito através de exemplos. Para
esta etapa o professor deve afixar uma folha tabuleiro na lousa, sob o
plástico adesivo transparente, de forma que possa afixar cubinhos o
plástico sobre a folha-tabuleiro. Mostramos aos alunos que a folha
possui três espaços retangulares demarcados. Explicamos aos alunos que o
espaço mais à direita, comprido e estreito, destina-se à representação
das unidades. O retângulo mais largo que se situa no meio da folha é o
local onde colocaremos as peças que representam dezenas (barrinhas) e o
quadrado mais à esquerda é o local onde acumularemos as placas de
centenas. É importante ressaltar que no retângulo das unidades cabem no
máximo nove cubinhos (quando temos dez devemos utilizar a representação
de dezenas). Analogamente, no espaço para as dezenas cabem no máximo
nove barrinhas (dez formam uma centena). No espaço para as centenas
cabem nove placas (colocadas “em pé”) uma ao lado da outra (para mais
centenas teríamos que usar a casa dos milhares).
Em seguida devemos escolher alguns
exemplos de números naturais para mostrar aos alunos como são
representados com o material dourado.
Acima está representado o número 34. É
importante que a representação dos exemplos seja feita pelo professor
com participação dos alunos. No caso acima, após propor a representação
do número 34 o professor deve perguntar quantas unidades e quantas
dezenas tem o 34. Após a resposta dos alunos, o professor fixa no
plástico adesivo as peças correspondentes, utilizando para cada ordem o
espaço correspondente.
Sugerimos que neste momento o professor
trabalhe com vários exemplos, solicitando primeiro que os alunos montem
com seus kits a representação do número indicado, e, em seguida,
efetuando a atividade na lousa para que os alunos possam conferir suas
representações. Inicialmente sugerimos o uso de números como 211, 357 e
outros sem o algarismo zero. Em seguida, devemos trabalhar
representações com o algarismo zero, como 101 e 340 e observar com
atenção as soluções dos alunos, pois é comum que os alunos tenham mais
dificuldades para ler e representar números com o algarismo zero.
O professor deve trabalhar a
representação dos números com os alunos até se certificar de que eles
compreenderam muito bem como se efetua esta tarefa.
Um exercício útil neste momento é a
leitura de números representados com o material dourado. O professor
deve montar no quadro, números com o material e perguntar aos alunos
qual número está sendo representado. Novamente, recomendamos o uso de
números que tenham o zero entre seus algarismos. Este exercício nos
levará ao próximo passo.
3º PASSO – ENCONTRAR OS NÚMEROS NATURAIS CORRESPONDENTES A GRUPOS DE PEÇAS DO MATERIAL DOURADO
Esta tarefa começa com a simples leitura
de números naturais representados com o material dourado, como feito
anteriormente, contudo agora o material dourado é apresentado aos alunos
sem estar preso ao tabuleiro. Pedimos, por exemplo, que separem cinco
barrinhas e uma placa e quatro cubinhos e perguntamos a qual número esta
quantidade de material dourado corresponde. Para responder, orientamos
os alunos a colocar o material sobre a folha tabuleiro e efetuar a
leitura do número obtido.
Em seguida utilizamos quantidades que
possuem dez ou mais peças em alguma ordem. Por exemplo, pedimos aos
alunos que separem 15 cubinhos, 3 barrinhas e 2 placas e perguntamos
qual o número natural que equivale a esta quantidade de material
dourado. O importante é fazer os alunos perceberem que não é possível
colocar os 15 cubinhos no tabuleiro e que a forma correta de obter a
representação decimal desta quantidade é trocar 10 cubinhos por uma
barrinha, o que significa que o número representado será o 245.
Novamente, repetimos esta atividade com
várias quantidades, algumas envolvendo o algarismo zero (como 1 placa,
12 barrinhas e nenhum cubinho), outras envolvendo dez objetos de uma
ordem, para resultar em algarismo zero (por exemplo, 2 barrinhas e 10
cubinhos). Para finalizar, propomos como desafio um exemplo em que a
troca das unidades por dezenas provoque a necessidade de trocar dezenas
por centenas (por exemplo, 13 cubinhos e 9 barrinhas).
Hora de registrar: As atividades da ficha de acompanhamento 1 devem ser realizadas neste momento.
2ª atividade: Multiplicação com o material dourado e o algoritmo da multiplicação
Objetivos:
Ensinar a multiplicação articulando dois registros de representação
para números naturais – registro numérico e registro com material
dourado sobre a folha tabuleiro. Esta articulação deve promover a
compreensão das etapas do algoritmo da multiplicação e propiciar que os
alunos atribuam significado a cada passo que efetuam na conta de
multiplicar.
Materiais: material dourado, folha tabuleiro e ficha de acompanhamento 2.
Esta etapa só deve ser iniciada quando
os alunos demonstrarem boa compreensão da representação dos naturais com
material dourado (ver atividade anterior).
Para atribuir significado ao algoritmo
da multiplicação vamos associá-lo ao procedimento natural de multiplicar
quantidades com material concreto. Entretanto, é preciso observar que
os números naturais e o material concreto nos fornecem diferentes
registros de representação para quantidades, e esses diferentes
registros possuem características próprias que dificultam a associação
imediata do processo multiplicativo efetuado sobre um e outro. Isso
significa que simplesmente ensinar a multiplicar no material dourado não
é suficiente para garantir que a compreensão obtida com este material
(mais intuitivo) se traduzirá em compreensão do algoritmo. Para efetuar
esta articulação entre o material concreto e o algoritmo de forma
eficiente, nos valemos do uso do tabuleiro e da observação detalhada das
correspondências entre as ações efetuadas sobre o material dourado no
processo de multiplicação e as respectivas anotações nas contas de
multiplicar realizadas de acordo com o algoritmo usual.
Vamos trabalhar nesta atividade com a
lousa dividida em duas partes: à esquerda uma área que usaremos para
armar as contas; à direita teremos o plástico adesivo colado com a folha
tabuleiro por baixo, como na atividade anterior.
Segue o passo a passo desta atividade.
1º PASSO – ESCOLHER E REPRESENTAR A MULTIPLICAÇÃO A SER EFETUADA
O primeiro passo, após dividir o quadro,
é armar no lado esquerdo a operação proposta. No caso da figura, 24 x
3. Acima dos algarismos simbolizamos as ordens das centenas, dezenas e
unidades com as letras C, D e U. Lembre-se de deixar um espaço entre
estas letras e os algarismos (para o “vai-um”). Também é importante
indicar com um zero antes do 24 o fato de que não há nenhuma centena.
Na área do material dourado, vamos
simplesmente representar o multiplicando (24, no nosso exemplo), mas
vamos fazer isso fora da folha tabuleiro.
2º PASSO – OPERANDO COM O MATERIAL CONCRETO
Agora vem o momento de “multiplicar o
material dourado”. Nessa etapa evocamos a ideia natural de multiplicação
triplicando a quantidade do material dourado no plástico adesivo, ainda
fora da folha tabuleiro:
Observe que na etapa acima ainda não
obtivemos qualquer representação numérica para o resultado. Para obter o
resultado da multiplicação é necessário que realizemos a conversão da
quantidade de material dourado obtida para número natural (utilizando a
folha tabuleiro, como fizemos na atividade anterior). Contudo, esta
parte de conversão será feita cuidadosamente, articulando suas etapas
com a realização da operação pelo algoritmo.
3º PASSO – A OBTENÇÃO DO RESULTADO COM MATERIAL CONCRETO E O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO
Esta etapa é fundamental para a compreensão do algoritmo de multiplicação.
Unidades:
Seguindo o exemplo em questão, começamos
perguntando aos alunos qual a quantidade total de unidades que
obtivemos ao multiplicar por 3 as unidades do 24. Eles devem contar os
cubinhos obtidos e verificar que foram 12 cubinhos. Pedimos que eles
arrumem estes cubinhos na folha tabuleiro (fazemos o mesmo na lousa,
sobre o adesivo) e esperamos que eles verifiquem que não há espaço para
os 12 cubinhos, que, como fizemos anteriormente, será necessário trocar
10 cubinhos por uma barrinha. Sugerimos que esta barrinha seja posta
acima do espaço reservado às dezenas na folha tabuleiro, pois ela será
associada ao “vai-um”, como ilustrado na imagem abaixo.
Neste momento passamos ao lado esquerdo
da lousa e observamos que ao multiplicar 4 unidades por 3 obtemos 12,
mas que não é possível escrever o 12 no espaço para as unidades do
resultado da conta (pois só pode ser posto um dígito), então vamos
escrever apenas o dois neste espaço e as outras 10 unidades, como formam
uma dezena, deixaremos anotada sobre a conta, na coluna das unidades (o
“vai-um”) para depois juntarmos com as outras dezenas que obtivermos.
Dezenas:
Agora vamos tratar das dezenas.
Obtivemos um total de 6 barrinhas quando multiplicamos as duas barrinhas
do 24 por três. Vamos arrumar estas barrinhas no espaço para as dezenas
na folha tabuleiro, contudo devemos lembrar de acrescentar também a
barrinha que veio da troca dos cubinhos. Assim, ficamos com 7 barrinhas
no total.
No lado esquerdo, efetuamos: duas
dezenas vezes três dá seis dezenas, somando a dezena que “guardamos no
vai-um”, obtemos sete dezenas:
É fundamental que neste passo
trabalhemos sempre relacionando de um lado a operação no material
dourado, de outro o algoritmo, afinal, nosso objetivo é exatamente
atribuir significado aos passos da operação de multiplicação pelo
algoritmo usual.
Após este exemplo, recomendemos algum
outro mais complicado, como 35 vezes 3 (teremos “vai-um” também das
dezenas para as centenas).
Esta atividade deve ser repetida com
diversos exemplos até que o professor perceba que a turma compreendeu
bem o significado de cada etapa do algoritmo da multiplicação.
Hora de registrar: As atividades da ficha de acompanhamento 2 devem ser realizadas neste momento.
Helena Calvo, Liliane Branco e Anne Michelle Dysman
Esta atividade destina-se ao ensino das operações de adição e
subtração com frações. Tratamos inicialmente das frações com
denominadores iguais e, em seguida, das frações com denominadores
distintos. Utilizaremos como recurso as réguas de frações (indicamos
como produzir uma versão de baixo custo). Caso a turma ainda não conheça
este material, sugerimos que antes sejam realizadas as atividades
iniciais do Módulo Instrucional Introdução às Frações com Réguas de
Frações para que os alunos se familiarizem com ele.
Utilizaremos as réguas de frações como recurso pedagógico. Algumas
escolas possuem este material, o qual também pode ser adquirido em lojas
que comercializam brinquedos pedagógicos. O ideal para o
desenvolvimento do trabalho é que cada aluno possa utilizar um jogo de
réguas. Como nem sempre as escolas ou os alunos dispõem de recursos
financeiros para a aquisição deste material, fornecemos no plano de aula
“Frações: uma introdução com canudos ou réguas de frações” instruções
para a produção do mesmo.
Sugerimos que os alunos sejam divididos em duplas para a realização do trabalho.
Materiais Utilizados
– réguas de frações (um kit por aluno ou por dupla – instruções para preparação de uma versão de baixo custo são encontradas no módulo instrucional Frações: uma introdução com réguas de frações);
Recomendamos que antes que seja realizado o trabalho proposto neste módulo, o professor realize com seus alunos as atividades do módulo instrucional “Frações: uma introdução com réguas de frações“.
1ª atividade: Soma e subtração de frações com denominadores iguais; 2ª atividade: Soma e subtração de frações com denominadores distintos.
Atividades
1ª atividade: Soma e subtração de frações com denominadores iguais
Objetivos: Levar os alunos a
perceberem que a soma e a subtração de frações com mesmo denominador se
reduzem, respectivamente, à soma e à subtração da quantidade de réguas
tomadas e, portanto, à soma e à subtração de números naturais.
Peça aos alunos que sobreponham à régua preta duas réguas terços e,
em seguida, questione-os sobre que fração da unidade estas duas réguas
juntas representam.
(Pelo trabalho desenvolvido até agora, espera-se que eles respondam dois terços.)
Exemplo 2: 2/5 + 1/5
Exemplo 3: 2/4 – 1/4
Peça aos alunos que peguem duas réguas quartos e sobreponham à régua preta.
Após analisarem o resultado, solicite que retirem uma régua das réguas.
Chame a atenção dos alunos para o fato da subtração de frações com
denominadores iguais ser feita do mesmo modo que a adição, isto é,
mantendo-se o denominador e subtraindo-se apenas os numeradores.
Para melhor compreensão por parte dos alunos, recomenda-se a realização de mais exemplos, tais como:
5/4 + 2/4 = 7/4
1/5 + 3/5 = 4/5
3/5 – 1/5 = 2/5
6/7 – 2/7 = 4/7
Hora de registrar: Ao final deste passo, peça aos alunos que façam os exercícios 1 e 2 da ficha de atividades.
2º PASSO – SIMPLIFICAÇÃO
Exemplo 1: 1/2 + 1/2
Ao somar ou subtrair algumas frações pode-se obter como resultado uma fração na qual o numerador e o denominador são iguais.
Note que a fração 2/2 pode ser simplificada.
Observação:
Consultar a 2ª atividade do módulo instrucional Frações: uma introdução com réguas de frações, que trata de frações equivalentes e simplificação.
Para simplificar esta fração, primeiramente, deve-se buscar uma fração equivalente a ela.
Chame a atenção dos alunos para a ideia desenvolvida no módulo
anterior, de que simplificar significa agrupar as réguas para obter uma
nova régua.
Peça aos alunos que agrupem as duas réguas “meios”, formando assim
uma nova régua cujo comprimento é o dobro do comprimento de uma régua
“meio”.
Em seguida, peça a eles que procurem no kit uma régua de mesmo tamanho que a nova régua obtida.
(Nesse caso, a régua encontrada no kit será a preta, que representa o inteiro.)
Chame a atenção deles para o fato da unidade poder ser representada pelo número 1 ou pela fração 1/1.
Numericamente,
Isso acontece porque o numerador e o denominador da fração 2/2 têm
divisores comuns. Tomando-se o maior desses divisores, isto é, o maior
divisor comum (mdc), e dividindo-se ambos os termos por ele, obtém-se
uma fração equivalente à fração dada, em sua forma simplificada.
Nesse exemplo o mdc é 2.
Exemplo 2: 3/4 + 3/4
Nesse caso, deve-se dividir o numerador e o denominador pelo seu maior divisor comum (mdc).
Como o mdc(6,4) = 2,
Exemplo 3: 3/4 – 1/4 = 2/4
Peça aos alunos que agrupem as duas réguas “quartos”, formando assim
uma nova régua cujo comprimento é o dobro do comprimento de uma régua
“quarto”.
Em seguida, peça a eles que procurem no kit uma régua de mesmo tamanho que a nova régua obtida.
Nesse caso, a régua encontrada no kit será a amarela, que representa 1/2 do inteiro.
Nesse caso, assim como na adição, para obter-se a equivalência 2/4 =
1/2, deve-se dividir o numerador e o denominador pelo seu maior divisor
comum (mdc).
Como o mdc(2,4) = 2, então
Para melhor compreensão por parte dos alunos, recomenda-se a realização de mais alguns exemplos, tais como:
1/3 + 2/3 = 3/3 = 1
1/4+ 2/4 = 3/4
4/6 – 2/6 = 2/6 = 1/3
10/8 – 2/8 = 8/8 = 1
Hora de registrar: Ao final deste passo, peça aos alunos que façam o exercício 3 da ficha de atividades.
2ª atividade: Soma e subtração de frações com denominadores distintos
Objetivo: Levar os alunos a
compreenderem a adição e a subtração de frações com denominadores
distintos utilizando o conceito de frações equivalentes.
Peça aos alunos que peguem uma régua meio e uma régua terço e sobreponham à régua preta.
Pergunte a eles que fração da unidade foi coberta pelas duas réguas.
Para responder a esta pergunta o professor deve chamar a atenção para
a diferença no comprimento das réguas. Isto significa que as frações
têm denominadores diferentes.
2º PASSO: ENCONTRANDO FRAÇÕES EQUIVALENTES
Para somar estas frações faz-se necessário procurar réguas iguais que
cubram totalmente tanto a régua meio quanto a régua terço. Neste caso,
as réguas “sextos”.
A partir do esquema acima, conclua com seus alunos que eles
encontraram frações equivalentes às frações 1/2 e 1/3 com um mesmo
denominador. Isto é, a fração 1/2 é equivalente à fração 3/6 e a fração
1/3 é equivalente è fração 2/6.
3º PASSO: CONCLUINDO O EXEMPLO
Pelo passo anterior,
Chame a atenção dos alunos para o fato de terem transformado uma soma
de frações de denominadores distintos numa soma de frações com mesmo
denominador. Assim, pela atividade anterior,
Daí, pode-se concluir que:
4º PASSO: EXEMPLO
Exemplo 2: 1/2 – 1/3
Peça aos alunos que peguem uma régua meio e a sobreponham ao inteiro
(régua preta). Em seguida, que sobreponham a esta régua uma régua terço.
Desse modo:
Pergunte a eles se são capazes de dizer que fração do inteiro representa esse pedacinho que sobrou da régua amarela.
(Nesse momento, eles já devem ser capazes de perceber que terão de
encontrar uma fração equivalente a 1/2 e uma fração equivalente a 1/3
que possuam o mesmo denominador.)
5º PASSO: ENCONTRANDO FRAÇÕES EQUIVALENTES
Peça a eles que procurem réguas iguais que cubram totalmente tanto a régua meio quanto a régua terço.
Como eles já descobriram na atividade de adição que a régua em questão é “sexto”, temos que:
Daí,
Conclua com os alunos que 3/6 e 2/6 são frações equivalentes, respectivamente, às frações 1/2 e 1/3.
6º PASSO: CONCLUINDO O EXEMPLO
Pelo exemplo anterior,
Agora peça a eles que comparem o pedacinho da régua amarela que sobrou com o comprimento de uma régua sexto.
Pergunte a eles o que eles puderam observar.
Então,
Recomenda-se repetir o processo para outras frações, tais como:
2/4 + 2/5 = 10/20 + 8/20 = 18/20 = 9/10
1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4
3/5 – 1/2 = 6/10 – 5/10 = 1/10
7/8 – 1/4 = 7/8 – 2/8 = 5/8
Hora de registrar: Ao final deste passo, peça aos alunos que façam os exercícios 4 e 5 da ficha de atividades.
Helena Calvo, Liliane Branco e Anne Michelle Dysman
Esta atividade destina-se a introduzir o conceito de frações tomando como foco os dois aspectos a seguir:
– relação entre partes e todo; – localização das frações na reta dos números reais.
Utilizaremos como recurso
pedagógico as réguas de frações. Algumas escolas possuem este material, o
qual também pode ser adquirido em lojas que comercializam brinquedos
pedagógicos. Contudo, como o custo deste material é relativamente alto,
fornecemos as instruções para a produção de uma versão alternativa do
mesmo, confeccionada com canudos pega-balão. (Também podem ser usados
canudos comuns, mas o material fica menos resistente). Para as escolas
que possuem kits de réguas de frações, sugerimos que aproveitem o
material disponível. Caso a escola possua apenas um kit, este pode ser
utilizado como material do professor. Nesse caso, sugerimos que a escola
providencie kits para os alunos utilizando os canudos de forma a manter
as mesmas cores do material que será utilizado pelo professor. Caso a
escola não possua o material, recomendamos que, além dos kits dos
alunos, seja providenciado também um kit maior (com canudos mais longos e
de maior espessura), que será usado pelo professor para explicar as
atividades.
Sugerimos, para a realização do trabalho que os alunos sejam
divididos em duplas e que cada aluno (ou cada dupla) utilize um jogo de
réguas (denominaremos assim também o material feito com canudos).
Objetivos
– Introduzir o conceito de fração de forma significativa; – Construir, através de observações sobre o material concreto, a noção de equivalência entre frações; – Ensinar a identificar a localização de frações na reta numérica; – Estabelecer a relação entre frações e suas representações decimais.
Materiais utilizados
– Réguas de frações (um kit por aluno ou dupla); – Listas de exercícios e acompanhamento fornecidas neste plano (uma por aluno).
Etapas do trabalho
1ª atividade: Representando Frações com as Réguas 2ª atividade: Comparando Frações, casos simples 3ª atividade: Encontrando Frações Equivalentes 4ª atividade: Simplificando Frações (e mais um pouco de comparação) 5ª atividade: Localizando Frações Próprias na Reta 6ª atividade: Localizando Frações Impróprias na Reta
Descrição do Material
A figura a seguir ilustra um kit de réguas de frações já nas cores
que serão utilizadas ao longo deste módulo instrucional (estas cores
podem variar de um fabricante para outro).
Atividades
1ª atividade: representando frações com réguas
Objetivos: Apresentar o material aos alunos, definir frações com base nas réguas e representá-las através da notação usual.
Materiais: Réguas de frações, ficha de atividades 1.
1º PASSO – EXPLORANDO O MATERIAL
– Peça aos alunos que sobreponham as réguas amarelas à preta. – Pergunte a eles quantas réguas amarelas eles utilizaram. (A resposta será duas.) – Conclua com eles que a régua amarela cabe duas vezes na régua preta. – Em seguida, peça a eles que repitam o procedimento com as demais réguas.
2º PASSO – DEFININDO A UNIDADE
– Defina a régua preta como unidade. – Explique aos alunos que todas as comparações agora serão feitas a partir dessa régua.
3º PASSO – NOMEANDO AS RÉGUAS
– Peça aos alunos que sobreponham uma régua amarela à preta.
– Pergunte que pedaço da régua preta foi coberto pela amarela (espera-se que eles respondam “metade” ou “meio”).
– Explique que a partir deste momento a régua amarela será chamada de meio.
– Peça que sobreponham uma régua verde à preta.
– Pergunte que pedaço da régua preta foi coberto pela verde. Como no
1º passo dessa atividade eles viram que a régua verde cabe três vezes na
preta, espera-se que eles respondam que uma régua verde cobre um pedaço
que corresponde à régua preta dividida por 3. (Se esta observação não
ocorrer, peça que eles coloquem outras réguas verdes lado a lado até
obter o mesmo tamanho da preta.)
– Diga-lhes que a partir desse momento a régua verde será chamada de terço. (“Terço” porque se diz respeito a “três”.)
– Repita o mesmo procedimento para as demais réguas e conclua que estas serão chamadas de quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo.
4º PASSO – DEFININDO FRAÇÕES A PARTIR DAS RÉGUAS
– Peça aos alunos que peguem duas réguas que representam “quintos” e as sobreponham à régua preta.
– Explique que a parte (ou fração) coberta da régua preta corresponde a dois quintos da mesma.
– Peça que peguem quatro réguas que
representam “sextos” e as sobreponham à régua preta. Pergunte que fração
dessa régua eles obtiveram. (Espera-se que eles respondam: quatro sextos.)
O professor deve seguir apresentando outros exemplos até que fique claro para os alunos o que está sendo feito.
Hora de registrar: Após a realização deste passo recomenda-se que os alunos façam a atividade 1 da ficha de acompanhamento 1.
5º PASSO – INTRODUZINDO A NOTAÇÃO FRACIONÁRIA
Agora que os alunos já conhecem os nomes das réguas, o professor pode construir com eles a representação de fração:
– Explique que o termo numerador se refere à quantidade de réguas tomadas e que o termo denominador se refere ao nome dado a tais réguas.
– Partindo do exemplo anterior, explique que dois quintos significa
tomar duas partes de um total de cinco. Assim, o total de partes em que
foi dividido o inteiro chama-se denominador (nesse exemplo, 5) e o
número de partes tomadas chama-se numerador (nesse exemplo, 2).
Desse modo, chega-se à representação:
O professor deve apresentar
mais exemplos para fixação até certificar-se de que os alunos
compreenderam bem a representação das frações, seguem algumas sugestões:
– Junto com os alunos represente a fração obtida quando se toma três
réguas roxas (três quartos): Três quartos: significa que o inteiro foi
dividido em quatro partes iguais e foram tomadas três dessas partes.
Isto é, o denominador é igual a 4 e o numerador é igual a 3.
– Junto com os alunos represente a fração obtida quando se toma sete
réguas marrons (sete nonos): Sete nonos: significa que o inteiro foi
dividido em nove partes iguais e foram tomadas sete dessas partes. Isto
é, o denominador é 9 e o numerador é 7.
Se for necessário, apresente ainda mais exemplos ou exercícios sobre representação fracionária aos alunos.
Hora
de registrar: Após a realização deste passo, recomenda-se que os alunos
façam as atividades 2 e 3 da ficha de acompanhamento 1.
2ª atividade: comparando frações, casos simples
Objetivos: Comparar frações com e sem o auxílio das réguas
Material Utilizado: Réguas de frações
1º PASSO: FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS
Exemplo: Comparar 1/3 e 2/3.
Para comparar estas frações os alunos deverão, inicialmente, representá-las com as réguas.
– Peça-lhes que representem as frações 1/3 e 2/3, utilizando o
material, de acordo com o que acabaram de aprender. Espera-se que eles
as representem da seguinte forma:
– Questione-os sobre os comprimentos obtidos.
– Pergunte qual é menor. (Acredita-se que todos responderão que 1/3 é menor do que 2/3.)
– Conclua que, nesses casos em que os denominadores das frações são
iguais, a quantidade de réguas tomadas é que determina qual será a
fração maior.
Em linguagem matemática:
1/3 < 2/3
Para melhor compreensão recomenda-se a realização de outros exemplos, tais como:
– comparar 2/5 e 3/5
– comparar 3/8 e 5/8
2º PASSO: FRAÇÕES COM NUMERADORES IGUAIS
Caso 1: NUMERADORES IGUAIS A 1
Comparar 1/2 e 1/3:
– Peça aos alunos que representem estas frações com as réguas e comparem tais representações.
– Explique que, assim como no passo anterior, uma fração será maior
do que a outra se o comprimento total das réguas utilizadas para
representá-la for maior que o comprimento total das réguas utilizadas
para representar a outra fração.
Nesse caso, como ambos os numeradores são iguais a 1, basta comparar os comprimentos de uma régua meio e de uma régua terço.
Espera-se que os alunos concluam que:
1/3 < 1/2.
Comparar 1/4 e 1/8:
– Explique que, assim como no exemplo anterior, a comparação se dá
entre frações cujos numeradores são iguais a 1. Então, para determinar
qual é a maior fração entre as duas, basta comparar os comprimentos de
uma régua quarto e de uma régua oitavo. Nesse caso,
1/8 < 1/4.
– O professor deve apresentar outros exemplos com numerador 1. O
objetivo desta etapa é levar o aluno a perceber que sempre que m < n
vale 1/m > 1/n.
– Devemos pedir aos alunos que expliquem por que é válida a regra
indicada acima. Queremos que eles entendam que denominador maior
significa que o inteiro foi dividido em mais partes, logo cada parte
resulta menor do que quando tomamos uma fração com denominador menor.
Conclusão:
– Como 2 < 3 e as frações 1/3 e 1/2 têm numerador igual a 1, pode-se concluir que 1/3 <1/2.
– Como 4 < 8 e as frações 1/8 e 1/4 têm numerador igual a 1, pode-se concluir que 1/8 < 1/4.
Mais exemplos (sem as réguas):
Comparar 1/5 e 1/9:
1º – Quais os numeradores? (1 e 1)
2º – Quais são os denominadores? (5 e 9)
3º – Comparar os denominadores. (5 < 9)
4º – Conclusão: Como 5 < 9 e ambos os numeradores são iguais a 1, então 1/9 < 1/5.
Comparar 1/6 e 1/10:
1º – Quais os numeradores? (1 e 1)
2º – Quais são os denominadores? (6 e 10)
3º – Comparar os denominadores. (6 < 10)
4º – Conclusão: Como 6 < 10 e ambos os numeradores são iguais a 1, então 1/10 < 1/6.
Caso 2: NUMERADORES IGUAIS
Em todos os exemplos anteriores, os numeradores eram iguais a 1. Isto
é, tomava-se apenas uma régua de cada tipo e, por isso, para comparar
as frações dadas, bastava comparar os comprimentos dos dois tipos de
réguas dadas ou os denominadores das mesmas. Queremos levar os alunos a
concluir que esta mesma regra (comparação de denominadores) é válida
sempre que os numeradores forem iguais, mesmo que não sejam 1.
Comparar 2/3 e 2/7:
– Explique que no presente exemplo, para comparar as duas frações,
temos que tomar duas réguas de cada e comparar os comprimentos totais.
Isto é, deve-se comparar os comprimentos de duas réguas terços e de duas
réguas sétimos:
Pela representação acima, é possível perceber que:
2/7 < 2/3
Comparar 5/6 e 5/7:
Comparando os comprimentos das cinco réguas sextos e das outras cinco réguas sétimos, é fácil perceber que:
5/7 < 5/6
– Repita tantos exemplos deste tipo quantos necessários até que os
alunos percebam e verbalizem a seguinte regra: mesmo que os numeradores
não sejam 1, se eles forem iguais, a fração com menor denominador será
maior do que aquela com denominador maior.
3º PASSO: FRAÇÕES COM NUMERADORES E DENOMINADORES DISTINTOS
Exemplo: Comparar 2/3 e 4/5
– Chame a atenção dos alunos para o fato das frações 2/3 e 4/5 não possuírem numeradores ou denominadores iguais.
– Conclua então que não é possível compará-las apenas contando a
quantidade de réguas utilizadas para representar cada uma delas (como no
caso das frações com denominadores iguais), nem comparar os
denominadores a fim de concluir que a fração com menor denominador é a
maior dentre as duas (no caso dos numeradores serem iguais).
– Peça-lhes que representem, a partir das réguas, as frações dadas e, em seguida, comparem tais representações.
É fácil perceber que 2/3 < 4/5.
– Questione-os sobre como procederiam se tivessem de comparar frações tais como 24/32 e 18/36.
– Conclua com eles que, nesse caso, apenas a representação através
das réguas deixará de ser um método prático de comparação. Daí a
necessidade de aprenderem o tópico tema da próxima atividade – frações
equivalentes.
3ª atividade: encontrando frações equivalentes
Objetivo: Explorar o conceito de frações equivalentes
Materiais Utilizados: Réguas de frações, ficha de acompanhamento 1.
– Peça aos alunos que representem sobre a régua preta a fração um meio.
– Em seguida que cubram essa fração utilizando réguas de uma única cor e que não seja a amarela.
– Pergunte que réguas utilizaram e quantas delas foram necessárias.
Cada aluno (ou grupo) deve dar uma das seguintes respostas: duas réguas
quartos, ou três réguas sextos, ou quatro réguas oitavos, ou cinco
réguas décimos.
– Explique que, apesar das representações numéricas das frações serem
diferentes, elas cobrem o mesmo pedaço do inteiro (metade da régua
preta), ou seja, representam a mesma área colorida do inteiro. Logo, são
equivalentes.
– Compare as representações das frações 1/2 e 2/4 através das réguas.
– Explique que para obter esta equivalência, o que se fez foi dividir
a régua dada (meio) em duas partes iguais. Isto é, dobrar a quantidade
de réguas tomadas, pois para substituir a régua meio, foram utilizadas
duas réguas quartos. Da mesma forma, para representar todo o inteiro com
réguas de quartos, usaríamos o dobro da quantidade de réguas que usamos
quando o representamos com réguas de meios, afinal cada régua de meio
equivale a duas réguas de quarto.
Conclusão: Se uma fração pode ser representada com
certa quantidade de réguas de meio, para representá-la com réguas de
quarto, necessitaremos do dobro de réguas, já que cada régua de meio
equivale a duas réguas de quarto.
Observamos que:
Outro exemplo:
– Peça aos alunos que representem sobre a régua preta a fração quatro sextos.
– Em seguida, oriente-os a encontrarem réguas de uma única cor que cubram as quatro réguas sextos.
– Pergunte que réguas utilizaram e quantas delas foram necessárias. (Espera-se que eles respondam: duas réguas terços.)
– Comparando as representações das frações 4/6 e 2/3 através das
réguas, explique que para cada duas réguas sextos há uma régua terço que
ocupa o mesmo espaço. Isto é, agrupando-se as réguas sextos, é possível obter novas réguas: as réguas terços.
Explique que o comprimento dessas novas réguas é o dobro do
comprimento da régua sexto, pois as réguas sextos foram agrupadas duas a
duas. Isto é, ao invés de ter quatro réguas menores, passa-se a ter
apenas duas réguas maiores. E o inteiro, antes dividido em seis partes
iguais, fica dividido em três partes, pois é representado por três
grupos com duas réguas sextos em cada um.
Numericamente, temos:
– Repita tantos exemplos quantos forem necessários para que os alunos
verifiquem que sempre que uma fração tem seu numerador e seu
denominador multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número, a nova
fração obtida é equivalente à inicial.
– Certifique-se de que os alunos entendem que isso ocorre porque,
nesses casos, estamos simplesmente “mudando as réguas utilizadas”, mas
mantemos a proporção entre o número de réguas que tomamos e o número de
réguas necessárias para representar o todo com as réguas em questão.
Hora de registrar:
Após a realização deste passo, recomenda-se que os alunos façam as
atividades 4 e 5 da ficha de acompanhamento 1. (A atividade 5 não aborda
o tema frações equivalentes. Esses exercícios tratam do significado da
fração como parte/todo.)
4ª atividade: simplificando frações (e mais um pouco de comparação)
Objetivos: aplicar as ideias da atividade anterior
para trabalhar sobre simplificação de frações e sobre comparação de
frações quando que não possuem numeradores iguais nem denominadores
iguais.
Agora retome o exemplo sugerido ao final da segunda atividade
(comparação de frações), usando o que foi aprendido sobre frações
equivalentes para resolvê-lo.
Comparar as frações 24/32 e 18/36:
– Peça que os alunos que encontrem uma fração equivalente à fração
24/32 e com menor denominador (usando o que aprenderam na atividade
anterior sobre frações equivalentes).
Observação: Diminuindo-se o denominador, diminui-se também o
numerador. Por isso, nenhuma consideração foi feita acima a respeito do
numerador.
Relembrando: Na atividade de comparação de frações
foi possível perceber que frações com numeradores e denominadores
menores são mais fáceis de comparar. Isso porque:
é possível representá-las através das réguas; ou
optando pela divisão do numerador pelo denominador, essa conta se torna mais simples com números menores.
– Explique que com isso estamos buscando simplificar a fração 24/32:
Observação: Optou-se aqui pela fração 3/4, pois esta
possui o menor denominador possível. Todavia, os alunos podem optar
pela fração 6/8, que também possui representação nas réguas.
– Peça aos alunos para, operando de maneira análoga, simplificarem a fração 18/36.
– Observe com os alunos que a fração 24/32 é equivalente à fração 3/4
e a fração 18/36 é equivalente à fração 1/2. Oriente os alunos a
representarem com as réguas estas frações.
Resumindo:
24/32 = 3/4 e 18/36 = 1/2
1/2 < 3/4
Conclusão:
18/36 < 24/32
– Pergunte aos alunos como eles poderiam ter resolvido sem usar as
réguas. Oriente para que eles observem que poderiam ter representado
ambas as frações usando o mesmo denominador (24/32 = 3/4 e 18/36 = 1/2 =
2/4), e então comparar apenas os numeradores, como fizemos na segunda
atividade.
– Explique que quando encontramos uma fração que não pode mais ser
simplificada, isto é, não há como encontrar uma fração equivalente com
denominador menor, a fração em questão é chamada de irredutível. Isso
ocorre sempre que o único divisor natural em comum do numerador e do
denominador é o número 1.
– Desafie os alunos a descobrirem o que tem de especial o número pelo
qual devemos dividir o numerador e o denominador para encontrar em um
único passo a simplificação à fração irredutível. A resposta é: este
número é o mdc (maior divisor comum) do numerador e do denominador.
– Se achar necessário, o professor deve apresentar mais exemplos, tais como:
– comparar as frações 6/15 e 4/16;
– comparar as frações 25/30 e 6/36.
5ª atividade: localizando frações próprias na reta
Objetivo: Vincular a representação das frações
próprias através das réguas com a localização do racional correspondente
na reta dos números reais.
Materiais Utilizados: Réguas de frações, ficha de atividades 2.
1º PASSO: REPRESENTANDO A UNIDADE
– Peça aos alunos para sobreporem a régua preta à reta do item 1 da
folha de atividades 2 e, alinhando o início da régua no zero, marquem o 1
no local onde termina a régua preta.
2º PASSO: LOCALIZANDO FRAÇÕES PRÓPRIAS NA RETA
-Peça aos alunos que, ainda no exercício 1 da ficha de atividades 2,
sobreponham ao segmento dado uma régua quarto, marcando com um ponto o
seu comprimento e escrevendo abaixo desse ponto a fração representada
por essa régua (numericamente).
3º PASSO: DIVIDINDO A UNIDADE EM PARTES IGUAIS
– Peça aos alunos que repitam o procedimento até marcarem o ponto
quatro quartos. Em seguida, peça-lhes que escrevam a representação
numérica das frações obtidas com este procedimento. Nesse ponto é normal
que os alunos perguntem porque a fração quatro quartos está localizada
no ponto 1 do segmento. Então, pergunte-lhes quantas réguas quartos são
necessárias para cobrir a régua preta (o inteiro). (Espera-se que eles
respondam: quatro réguas.)
– Chame a atenção dos alunos para o fato de quatro réguas quartos
ocuparem o mesmo espaço que uma régua preta. Assim, a fração 4/4 é
equivalente a um inteiro.
4º PASSO: LOCALIZANDO FRAÇÕES PRÓPRIAS NA RETA SEM O AUXÍLIO DAS RÉGUAS
– Peça aos alunos que, no exercício 2 da ficha de atividades 2,
marquem a unidade (usando a régua preta) no primeiro segmento. Em
seguida, peça-lhes que dividam o comprimento obtido em três partes
iguais e localizem a fração 2/3.
– Os alunos devem repetir o mesmo procedimento de divisão em 3 partes
para os outros segmentos menores e, em cada um, devem localizar a
fração 2/3.
– Pergunte-lhes se notaram alguma diferença ao localizarem a mesma fração em segmentos de comprimentos diferentes.
– Conclua que é possível dividir qualquer segmento em partes iguais,
independentemente de seu comprimento, e que o tamanho que corresponde à
fração 2/3 em um segmento depende do comprimento do próprio segmento.
6ª atividade: localizando frações impróprias na reta
Objetivo: Espera-se, ao final desta atividade, que
os alunos sejam capazes de identificar a localização de frações
impróprias na reta numérica.
Materiais Utilizados: Réguas de frações, ficha de atividades 3.
1º PASSO: REPRESENTANDO FRAÇÕES IMPRÓPRIAS
– Reagrupe os alunos de forma que cada grupo disponha de dois kits de réguas.
– Peça que tomem seis réguas vermelhas e, lembrando que cada uma
delas representa um quinto, pergunte qual fração corresponde às seis
réguas.
– Peça que representem numericamente esta fração e que escrevam-na
por extenso, assim como foi feito com a frações própria 2/5, no 5º passo
da 1ª atividade. O objetivo é reforçar a ideia de que o numerador está
associado à a quantidade de réguas tomadas e que o denominador está
associado ao nome dessas réguas.
Hora de registrar: Após a realização deste passo, recomenda-se que os alunos façam a atividade 6 da ficha de acompanhamento 1.
2º PASSO: LOCALIZANDO FRAÇÕES IMPRÓPRIAS NA RETA
– No passo anterior, ao compararem o comprimento das seis réguas
vermelhas (quintos) alinhadas e o comprimento da régua preta, os alunos
devem ter notado que as réguas vermelhas excedem a preta. Logo, a fração
seis quintos é maior que um inteiro. Isto é:
6/5 > 1
– Explique que, nesse caso, como a fração é maior do que o inteiro,
para representá-la, os alunos vão precisar de mais uma régua preta
(inteiro).
Hora
de registrar: O professor deve solicitar que os alunos marquem no item 1
da ficha de acompanhamento 3 o ponto onde deve se localizar a fração
seis quintos. É importante chamar a atenção dos alunos para o fato das
frações impróprias serem sempre maiores que a unidade.
– Antes de localizar a fração seis quintos na reta apresentada na
atividade 1 da ficha de acompanhamento 3, os alunos já devem ser capazes
de perceber que a mesma estará após o número 1. Caso haja ainda alguma
dúvida em relação a isso, o professor deve retomar a ideia da atividade 1
da ficha de acompanhamento 2, onde a régua preta, que representa o
inteiro, tem o mesmo comprimento do segmento [0,1]. Como, nesse exemplo,
temos duas réguas pretas, tem-se também um comprimento maior do que 1.
– Para precisar esse comprimento, podemos lançar mão de outro recurso
além das réguas de frações: o algoritmo da divisão. O professor deve
explicar aos alunos que a fração pode ser entendida como um quociente e
que esse quociente, resultado da divisão do numerador pelo denominador, é
a representação decimal da fração dada que, por sua vez, pode ser
encontrada na reta numérica.
Hora
de registrar: Após a realização deste passo, recomenda-se que os alunos
façam as atividades 7 e 8 da ficha de acompanhamento 1.
3º PASSO – PRATICANDO UM POUCO MAIS
– Utilizando réguas de outras cores, repita este procedimento para
outras frações impróprias, como cinco terços, três meios, sete quintos,
dez oitavos, oito sextos, cinco meios, onze quartos, quinze terços etc.
Hora
de registrar: O professor deve solicitar que os alunos localizem cada
fração citada acima nas atividades 1 e 2 da ficha de acompanhamento 3.
(É importante localizar as mesmas frações também na atividade 2 para que
os alunos sejam capazes de perceber que, independentemente da escala
utilizada na representação da reta numérica, uma determinada fração
estará sempre localizada entre os mesmos dois inteiros.)
Anne Michelle Dysman, Jéssica Rama e Marcella Candido
Este módulo instrucional destina-se ao
ensino de números primos e fatoração utilizando a Escala Cuisenaire. O
material concreto é utilizado para promover a aprendizagem
significativa, pois a comparação dos tamanhos das barras da Escala
Cuisenaire fornece um registro concreto para a ideia de múltiplo,
possibilitando a compreensão dos números primos como relacionados
àqueles tamanhos que não podem ser “decompostos” em certa quantidade de
barras com uma medida menor (não unitária). Estas atividades foram
desenvolvidas para utilização com turmas de sexto ano, como método para
rever os conceitos de número primo e fatoração. Os conceitos de
múltiplos e divisores começam a surgir neste módulo instrucional de
forma natural, preparando os alunos para as atividades dos módulos
instrucionais sobre múltiplos, mmc, divisores e mdc, também disponíveis
neste site. Caso a escola não disponha do material concreto (Escala
Cuisenaire), sugerimos uma forma de confeccionar uma versão de baixo
custo.
As atividades deste plano dividem-se em 3 etapas:
– Atividade 1: Observação de múltiplos e reconhecimento de números primos
– Atividade 2: Existência da decomposição dos naturais em fatores primos
– Atividade 3: Algoritmo da fatoração
O
trabalho aqui proposto pode ser executado de forma individual ou em
grupos (sugerimos a execução em duplas). O professor deve explicar
oralmente as atividades descritas neste plano e cada aluno deve
registrar suas observações e resultados em uma ficha do aluno (em
anexo).
Objetivos
– Explorar o conceito de número primo de
forma significativa, através do uso de materiais que dão concretude às
ideias de múltiplos e divisores.
– Introduzir os conceitos de múltiplos e
divisores de maneira natural (sem explorar muito tais conceitos)
preparando os alunos para trabalharem com os módulos instrucionais
Entendendo Múltiplos e MMC e Entendendo Divisores e MDC, nos quais tais
aprofundaremos a aprendizagem de tais conceitos.
– Ensinar o conceito de fatoração em primos e atribuir significado ao algoritmo usual para fatoração.
Materiais utilizados
– Cada grupo (ou aluno, caso seja realizada individualmente) deve receber um kit de barrinhas da Escala Cuisenaire com as quantidades discriminadas na tabela abaixo. Caso a escola não disponha deste material, é possível produzir versão de baixo custo com uso de um dos seguintes materiais: varetas pega-balão, emborrachado (E.V.A.) ou papel cartão. Par isso siga as instruções do Guia de Produção de Material Cuisenaire (versão baixo custo). – Ficha de acompanhamento (uma por aluno).
Etapas do trabalho
As atividades deste plano dividem-se em 3 etapas:
1ª atividade: Reconhecimento de números primos
2ª atividade: Existência da decomposição dos naturais em fatores primos
3ª atividade: Algoritmo de fatoração
Descrição do Material
A figura a seguir ilustra as barrinhas da Escala Cuisenaire que serão
utilizadas ao longo deste módulo instrucional. São 10 cores que
correspondem aos números de 1 a 10. Os tamanhos das barrinhas também
variam de forma proporcional ao número que representam.
Atividades
1ª atividade: Observação de múltiplos e reconhecimento de números primos
Objetivos: Introduzir
de forma natural a ideia de múltiplo através de observações com o
material concreto e possibilitar aprendizagem significativa do conceito
de número primo.
Materiais: Kit com material Cuisenaire, ficha de acompanhamento.
1º PASSO – EXPLORANDO O MATERIAL
– Deixe que os alunos manuseiem o material concreto por alguns minutos.
– Peça aos alunos que tomem uma barrinha de cada cor e que comparem as barrinhas.
– Pergunte a eles quantas barrinhas tomaram.
– Peça que ordenem por tamanho as barrinhas.
– Pergunte o que podem observar quanto aos tamanhos das barrinhas. Os
alunos devem notar que, tomando como unidade a menor barrinha (que é um
cubinho) para cada número n de 1 a 10 há uma barrinha cuja medida é
exatamente n unidades (não esperamos que os alunos expressem desta
forma, apenas que observem o fato e o relatem com suas palavras). Se
eles não observarem este fato por conta própria, peça que alinhem
barrinhas brancas ao lado de cada uma das barrinhas coloridas, de forma
que possam realizar a observação desta relação.
– Defina a menor barrinha como unidade.
– Explique aos alunos que todas as comparações agora serão feitas a
partir dessa barrinha (branca). Peça que eles completem na ficha de
acompanhamento a tabela que representa a correspondência entre o número
representado por cada barrinha e sua cor.
Hora de registrar: Exercício 1 da ficha de acompanhamento.
2º PASSO – OBSERVAÇÕES SOBRE MÚLTIPLOS E DIVISORES
– Uma cor por vez, os alunos devem tomar uma barrinha da cor da vez e
buscar alguma outra cor de tal que possamos reproduzir o comprimento da
barrinha da vez utilizado alguma quantidade de barrinhas desta outra
cor. Por exemplo, a barrinha verde-escura que representa o número 6.
Podemos substituí-la por três barrinhas vermelhas que representam o
número 2, ou por duas barrinhas verde claros que representam o número 3,
conforme ilustrado na imagem abaixo. Recomende que eles tentem realizar
este exercício sem utilizar as barrinhas brancas e só as utilizem
quando não houver outra opção.
Hora de registrar: Exercício 2 da ficha de acompanhamento. Oriente os alunos da seguinte forma: Para as barrinhas de 2 a
10 cujos comprimentos podem ser obtidos através da justaposição de
barrinhas de mesma cor, anotar ao lado do número a multiplicação
correspondente à operação realizada com as barrinhas. Por exemplo, se
para obter o comprimento da barrinha verde escuro (seis) o aluno
utilizou duas barrinhas de cor verde claro (correspondente ao número 3),
deve registrar na folha de atividades ao lado do número 6 a operação “= 2 x 3”. Nos casos em que tiveram que utilizar barrinhas brancas, devem registrar também (por exemplo: “5 = 5 x 1”)
–
Realizar a mesma verificação indicada acima para comprimentos
equivalentes aos números de 11 a 20. Para isso deve-se, sucessivamente,
justapor uma barrinha de 10 a barrinhas de 1 a 10 e, para o comprimento
obtido,
procurar um grupo de barrinhas de mesma cor que, quando justapostas
resultem no comprimento correspondente ao número em questão, como vemos
abaixo para o número 12 (a imagem abaixo ilustra “12 = 2 x 6”).
Hora de registrar: Continuação do exercício 2.
Anotar na ficha de acompanhamento as multiplicações que correspondem às
equivalências obtidas no item acima para os números de 11 a 20 (por
exemplo, se o aluno usou 3 barrinhas roxas para representar o número 12,
devem registrar ao lado do 12 “= 3 x 4”).
– Introduzir os termos múltiplos e divisores utilizando como exemplos
os produtos registrados na ficha de acompanhamento. Nesta etapa
recomenda-se que estas conceituações sejam feitas através de exemplos: 6
= 2 x 3, então 6 é múltiplo de 2 (e também de 3), pois pode ser obtido pela multiplicação de 2 por 3. Igualmente, 12 é múltiplo de 4 e de 3 porque pode ser representado pela multiplicação destes dois números. Para conceituar divisores usamos o mesmo método: 2 é divisor de 6, pois 6 pode ser dividido por 2 (sem sobrar resto). Também 3 é divisor de 6. Para 12, temos que 4 é divisor de 12 porque 12 pode ser dividido por
4 (com resto zero). Neste momento ainda não exploraremos mais
profundamente os conceitos de múltiplos e divisores (o que será
realizado nos módulos instrucionais “Entendendo Múltiplos e MMC”
e “Entendendo Divisores e MDC”).
Hora de registrar: Realizar o exercício 3 da ficha de acompanhamento.
3º PASSO – IDENTIFICANDO NÚMEROS PRIMOS
– Peça aos alunos que verifiquem para quais dos comprimentos de 1 a
20 eles não conseguiram realizar o passo anterior sem utilizar as
barrinhas que representam uma unidade. Por exemplo, para a barrinha
amarela que representa o número cinco não há nenhuma outra cor (que não
seja a branca ou a própria amarela) que, justapondo apenas barrinhas
desta cor, nos dê o mesmo comprimento. Também para o número 13, obtido
pela justaposição da barrinha laranja com a verde-claro, a única maneira
de obter seu comprimento utilizando uma única cor de barrinha é
utilizando as barrinhas brancas que representam a unidade. Os alunos
devem circular na ficha de atividades os números para os quais isto
ocorre. Abaixo vemos que é este o caso do número cinco (barrinha
amarela).
Hora de registrar: Continuação do exercício 2 da
ficha de acompanhamento: Para os números de 2 a 20 no execício 2 os
alunos devem circular aqueles que não podem ser representados como
produto de outros naturais (sem usar o 1).
– O professor deve explicar que os números circulados são chamados de
números primos e explicar que um número recebe este nome sempre que é
maior que 1 e só possui como divisores 1 e ele mesmo;
Hora de registrar: Os alunos devem responder à questão 4 da ficha de acompanhamento.
2ª atividade: Existência da decomposição dos naturais em fatores primos
Objetivos: Observar a existência da decomposição em
fatores primos para os números naturais de 2 a 20 e fazer com que os
alunos percebam empiricamente que todo natural maior que um pode ser
decomposto em fatores primos.
Material Utilizado: Ficha de acompanhamento.
– Peça aos alunos para, nas multiplicações que registraram no
exercício 2, circularem todos os números primos que encontrarem (por
exemplo, se registraram “8 = 2 x 4”, devem circular o 2);
– O professor deve propor ao aluno a seguinte tarefa: obter qualquer
dos números que não são primos na lista utilizando apenas números primos
e operações de multiplicação. Assim, por exemplo, partindo de
o aluno deve ser instruído a buscar na própria lista de números em
sua ficha uma forma de substituir o 6 por um produto de números primos.
Encontrará 6 = 2 x 3, e substituindo na multiplicação, ficará com
– Uma
vez realizado o exercício que acabamos de propor, o professor deve
explicar ao aluno que essa forma de escrever um número que não é primo
como produto de números primos chama-se decomposição do número em fatores primos (lembrar que cada termo em uma multiplicação é chamado de fator) e que, assim como ele obteve a decomposição em fatores primos de cada um dos números de 1 a 20, essa decomposição também pode ser obtida para qualquer outro número natural maior que 20.
3ª atividade: Algoritmo da fatoração
Objetivos: ensinar o algoritmo da fatoração de forma significativa.
Após as atividades 1 e 2 acima o professor deve ensinar o algoritmo
da fatoração utilizando-se, para isso, da própria ficha de
acompanhamento onde encontra-se circulada a lista de todos os primos de 1
a 20. Vamos utilizar como exemplo a fatoração do número 140.
– Pedimos aos alunos que anotem o número 140 e ao lado coloquem a barra vertical para a fatoração como na ilustração abaixo:
– Olhando na ficha de atividades, qual o primeiro primo que está
circulado? É o número dois. O número 140 é divisível por dois? Sim, 140 =
2 x 70. Então anotamos:
– Agora ficamos com o número 70. Ele também é divisível por 2? Sim, 70 = 2 x 35. Anotamos:
– E o número 35, é divisível por 2? Não. Qual o próximo primo em
nossa lista? É o número 3. O número 35 é divisível por 3? Não. Qual o
próximo primo da nossa lista? É o 5. E 35 é divisível por 5? Sim, 35 = 5
x 7. Registramos:
– Ficamos com 7, que já é primo. Logo temos:
o que significa que
140 = 2 x 2 x 5 x 7
como podemos ver no lado direito da barra da fatoração.
Hora de registrar: Como
exercício o professor deve propor que os alunos fatorem os números de
21 a 40 e completem a ficha de atividades circulando os primos entre 21 e
40 e anotando as fatorações ao lado dos números que não são primos.
Para que esta atividade seja mais dinâmica, sugerimos que o professor
sorteie alunos para fatorarem no quadro cada um destes números com ajuda
dos colegas da turma. Com uso de uma cartolina é possível também
aproveitar esta atividade conjunta par fazer uma tabela com as
fatorações destes números.
Após a realização das atividades deste módulo, os alunos estão
prontos para trabalharem com as propostas dos módulos instrucionais
Entendendo Múltiplos e MMC e Entendendo Divisores e MDC.
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