Joselane Rodrigues Santana de Abreu, Cristiana Gomes Nunes e Michelle Dysman
Este módulo instrucional apresenta um método para ensino da multiplicação de números naturais com uso do Material Dourado. Seu objetivo é tornar significativa a aprendizagem desta operação aritmética. Aqui é apresentado numa versão que se destina ao trabalho com alunos de sexto ano, buscando atribuir significado ao algoritmo já visto anteriormente, contudo pode ser adaptado para uma primeira apresentação da multiplicação.
Os principais conteúdos envolvidos nas atividades aqui propostas são: sistema decimal de numeração e a operação de multiplicação dos números naturais (nesta versão restrita a multiplicador com um dígito).
Como resultados do desenvolvimento destas atividades em sala de aula vamoscapacitar o aluno a:
· Aprender a manusear o Material Dourado;
· Aprimorar a compreensão de valor posicional no sistema decimal de numeração;
. Atribuir significado aos passos do algoritmo usual para multiplicação;
. Compreender melhor a operação multiplicação de números naturais.
Os recursos necessários para o desenvolvimento destas atividades são o material dourado (recomendamos que cada aluno receba um kit com a quantidade de peças necessária ao desenvolvimento das atividades que serão propostas pelo professor), folha-tabuleiro (disponível neste módulo, uma por aluno), um metro de plástico transparente auto-adesivo para uso na lousa e fichas de acompanhamento (listas de exercícios que também fornecemos neste módulo). Através destas mesmas fichas de acompanhamento poderá ser feita a avaliação do trabalho e a verificação de aprendizagem.
Objetivos
Conferir significado ao algoritmo da multiplicação de números naturais através da associação de seus diversos passos com as etapas dos procedimentos utilizados para efetuar esta operação com o material dourado. Aprimorar a compreensão dos alunos sobre multiplicação.
Materiais utilizados
– Material dourado (um kit por aluno);
– Folha-tabuleiro (uma por aluno);
– Plástico auto-adesivo transparente (um metro é suficiente, será usado para possibilitar a fixação das peças no material dourado na lousa);
– Listas de exercícios e acompanhamento fornecidas neste plano.
Etapas do trabalho
1ª atividade: o sistema de numeração decimal e o material dourado;
2ª atividade: multiplicação com o material dourado e o algoritmo da multiplicação.
Atividades
1ª atividade: o sistema de numeração decimal e o material dourado
Objetivos: apresentar o material dourado, ensinar a representação de números naturais através do material dourado ressaltando a relação entre valor posicional e os agrupamentos do sistema decimal, ensinar a encontrar os números naturais a que equivalem grupos com quantidades diversas de peças do material dourado.
Materiais: material dourado, folha tabuleiro e ficha de acompanhamento 1.
O sistema de numeração que utilizamos é o decimal, pois os agrupamentos e reagrupamentos são feitos de dez em dez. Para a utilização do material dourado precisamos compreender as regras básicas do sistema de numeração decimal e, em particular, a ideia do uso da posição dos dígitos como representação de agrupamentos: o mesmo algarismo pode representar valores diferentes dependendo da posição que ocupa no número, visto que cada posição equivale ao agrupamento de uma quantidade diferente de unidades. Essa relação entre posição e valor por agrupamento se traduz no material dourado como ilustra a figura abaixo:
Assim, usaremos o material dourado como material concreto para representar o sistema de numeração decimal neste módulo instrucional. Ele é formado por cubinhos que representam a unidade, barrinhas que correspondem ao agrupamento de 10 cubinhos e que representam a dezena, e placas que correspondem ao agrupamento de dez barrinhas e representam a centena. Adicionalmente alguns kits contém um cubo grande que representa o milhar (correspondendo ao agrupamento de 10 placas de centena).
1º PASSO – EXPLICAR AOS ALUNOS O SIGNIFICADO DE CADA PEÇA DO MATERIAL DOURADO
· Retire a folha de proteção do plástico auto-adesivo e prenda-o na lousa de forma que a parte auto-colante fique para fora e a parte sem cola fique encostada no quadro negro (você pode usar para isso fita crepe ou utilizar o próprio adesivo do plástico autocolante, virando os cantinhos para trás de forma que estes cantinhos possam aderir à lousa). Neste plástico você poderá colar as peças do material dourado para exibi-las aos alunos, como na ilustração abaixo.
. Tome um cubinho do material dourado e explique aos alunos que cada cubinho como aquele vai representar uma unidade. Cole um cubinho na lousa (sobre o plástico adesivo).
. Tome uma barrinha e cole na lousa. Peça aos alunos que peguem uma barrinha em seus kits e que ao lado dela posicionem tantos cubinhos quantos forem necessários para obter o mesmo tamanho da barrinha. Pergunte quantos cubinhos equivalem a uma barrinha. Eles devem responder que utilizaram 10 cubinhos para obter o mesmo tamanho da barra. Ao lado da barrinha colada na lousa, cole dez cubinhos mostrando que resulta no mesmo tamanho. Explique que, como foi observado, a barrinha representa 10 unidades, o que significa uma dezena.
. Proceda de forma análoga com a placa: Tome uma placa e cole na lousa. Peça aos alunos que peguem uma placa em seus kits e que ao lado dela posicionem tantas barrinhas quantas forem necessárias para obter o mesmo tamanho da placa. Pergunte quantas barrinhas equivalem à uma placa. Eles devem responder que utilizaram 10 barrinhas para obter o mesmo tamanho da placa. Ao lado da placa colada na lousa, cole dez barrinhas mostrando que resulta no mesmo tamanho. Explique que, como foi observado, a placa representa 10 dezenas, o que significa uma centena.
. Se o professor tiver o kit com o cubo que representa um milhar, pode proceder de forma análoga aos passos acima para explicar o significado desta peça também.
É fundamental que os alunos compreendam muito bem que cada peça do material dourado representa uma ordem, uma quantidade diferente que corresponde sempre ao agrupamento de dez unidades da ordem anterior.
Com o material dourado podemos realizar operações básicas tais como: adição, subtração, multiplicação e divisão. Neste módulo instrucional trabalharemos somente com multiplicação.
2º PASSO – REPRESENTAR NÚMEROS NATURAIS COM O MATERIAL DOURADO
O ensino da representação dos números naturais com o material dourado deve ser feito através de exemplos. Para esta etapa o professor deve afixar uma folha tabuleiro na lousa, sob o plástico adesivo transparente, de forma que possa afixar cubinhos o plástico sobre a folha-tabuleiro. Mostramos aos alunos que a folha possui três espaços retangulares demarcados. Explicamos aos alunos que o espaço mais à direita, comprido e estreito, destina-se à representação das unidades. O retângulo mais largo que se situa no meio da folha é o local onde colocaremos as peças que representam dezenas (barrinhas) e o quadrado mais à esquerda é o local onde acumularemos as placas de centenas. É importante ressaltar que no retângulo das unidades cabem no máximo nove cubinhos (quando temos dez devemos utilizar a representação de dezenas). Analogamente, no espaço para as dezenas cabem no máximo nove barrinhas (dez formam uma centena). No espaço para as centenas cabem nove placas (colocadas “em pé”) uma ao lado da outra (para mais centenas teríamos que usar a casa dos milhares).
Em seguida devemos escolher alguns exemplos de números naturais para mostrar aos alunos como são representados com o material dourado.
Acima está representado o número 34. É importante que a representação dos exemplos seja feita pelo professor com participação dos alunos. No caso acima, após propor a representação do número 34 o professor deve perguntar quantas unidades e quantas dezenas tem o 34. Após a resposta dos alunos, o professor fixa no plástico adesivo as peças correspondentes, utilizando para cada ordem o espaço correspondente.
Sugerimos que neste momento o professor trabalhe com vários exemplos, solicitando primeiro que os alunos montem com seus kits a representação do número indicado, e, em seguida, efetuando a atividade na lousa para que os alunos possam conferir suas representações. Inicialmente sugerimos o uso de números como 211, 357 e outros sem o algarismo zero. Em seguida, devemos trabalhar representações com o algarismo zero, como 101 e 340 e observar com atenção as soluções dos alunos, pois é comum que os alunos tenham mais dificuldades para ler e representar números com o algarismo zero.
O professor deve trabalhar a representação dos números com os alunos até se certificar de que eles compreenderam muito bem como se efetua esta tarefa.
Um exercício útil neste momento é a leitura de números representados com o material dourado. O professor deve montar no quadro, números com o material e perguntar aos alunos qual número está sendo representado. Novamente, recomendamos o uso de números que tenham o zero entre seus algarismos. Este exercício nos levará ao próximo passo.
3º PASSO – ENCONTRAR OS NÚMEROS NATURAIS CORRESPONDENTES A GRUPOS DE PEÇAS DO MATERIAL DOURADO
Esta tarefa começa com a simples leitura de números naturais representados com o material dourado, como feito anteriormente, contudo agora o material dourado é apresentado aos alunos sem estar preso ao tabuleiro. Pedimos, por exemplo, que separem cinco barrinhas e uma placa e quatro cubinhos e perguntamos a qual número esta quantidade de material dourado corresponde. Para responder, orientamos os alunos a colocar o material sobre a folha tabuleiro e efetuar a leitura do número obtido.
Em seguida utilizamos quantidades que possuem dez ou mais peças em alguma ordem. Por exemplo, pedimos aos alunos que separem 15 cubinhos, 3 barrinhas e 2 placas e perguntamos qual o número natural que equivale a esta quantidade de material dourado. O importante é fazer os alunos perceberem que não é possível colocar os 15 cubinhos no tabuleiro e que a forma correta de obter a representação decimal desta quantidade é trocar 10 cubinhos por uma barrinha, o que significa que o número representado será o 245.
Novamente, repetimos esta atividade com várias quantidades, algumas envolvendo o algarismo zero (como 1 placa, 12 barrinhas e nenhum cubinho), outras envolvendo dez objetos de uma ordem, para resultar em algarismo zero (por exemplo, 2 barrinhas e 10 cubinhos). Para finalizar, propomos como desafio um exemplo em que a troca das unidades por dezenas provoque a necessidade de trocar dezenas por centenas (por exemplo, 13 cubinhos e 9 barrinhas).
- Hora de registrar: As atividades da ficha de acompanhamento 1 devem ser realizadas neste momento.
2ª atividade: Multiplicação com o material dourado e o algoritmo da multiplicação
Objetivos: Ensinar a multiplicação articulando dois registros de representação para números naturais – registro numérico e registro com material dourado sobre a folha tabuleiro. Esta articulação deve promover a compreensão das etapas do algoritmo da multiplicação e propiciar que os alunos atribuam significado a cada passo que efetuam na conta de multiplicar.
Materiais: material dourado, folha tabuleiro e ficha de acompanhamento 2.
Esta etapa só deve ser iniciada quando os alunos demonstrarem boa compreensão da representação dos naturais com material dourado (ver atividade anterior).
Para atribuir significado ao algoritmo da multiplicação vamos associá-lo ao procedimento natural de multiplicar quantidades com material concreto. Entretanto, é preciso observar que os números naturais e o material concreto nos fornecem diferentes registros de representação para quantidades, e esses diferentes registros possuem características próprias que dificultam a associação imediata do processo multiplicativo efetuado sobre um e outro. Isso significa que simplesmente ensinar a multiplicar no material dourado não é suficiente para garantir que a compreensão obtida com este material (mais intuitivo) se traduzirá em compreensão do algoritmo. Para efetuar esta articulação entre o material concreto e o algoritmo de forma eficiente, nos valemos do uso do tabuleiro e da observação detalhada das correspondências entre as ações efetuadas sobre o material dourado no processo de multiplicação e as respectivas anotações nas contas de multiplicar realizadas de acordo com o algoritmo usual.
Vamos trabalhar nesta atividade com a lousa dividida em duas partes: à esquerda uma área que usaremos para armar as contas; à direita teremos o plástico adesivo colado com a folha tabuleiro por baixo, como na atividade anterior.
Segue o passo a passo desta atividade.
1º PASSO – ESCOLHER E REPRESENTAR A MULTIPLICAÇÃO A SER EFETUADA
O primeiro passo, após dividir o quadro, é armar no lado esquerdo a operação proposta. No caso da figura, 24 x 3. Acima dos algarismos simbolizamos as ordens das centenas, dezenas e unidades com as letras C, D e U. Lembre-se de deixar um espaço entre estas letras e os algarismos (para o “vai-um”). Também é importante indicar com um zero antes do 24 o fato de que não há nenhuma centena.
Na área do material dourado, vamos simplesmente representar o multiplicando (24, no nosso exemplo), mas vamos fazer isso fora da folha tabuleiro.
2º PASSO – OPERANDO COM O MATERIAL CONCRETO
Agora vem o momento de “multiplicar o material dourado”. Nessa etapa evocamos a ideia natural de multiplicação triplicando a quantidade do material dourado no plástico adesivo, ainda fora da folha tabuleiro:
Observe que na etapa acima ainda não obtivemos qualquer representação numérica para o resultado. Para obter o resultado da multiplicação é necessário que realizemos a conversão da quantidade de material dourado obtida para número natural (utilizando a folha tabuleiro, como fizemos na atividade anterior). Contudo, esta parte de conversão será feita cuidadosamente, articulando suas etapas com a realização da operação pelo algoritmo.
3º PASSO – A OBTENÇÃO DO RESULTADO COM MATERIAL CONCRETO E O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO
Esta etapa é fundamental para a compreensão do algoritmo de multiplicação.
Unidades:
Seguindo o exemplo em questão, começamos perguntando aos alunos qual a quantidade total de unidades que obtivemos ao multiplicar por 3 as unidades do 24. Eles devem contar os cubinhos obtidos e verificar que foram 12 cubinhos. Pedimos que eles arrumem estes cubinhos na folha tabuleiro (fazemos o mesmo na lousa, sobre o adesivo) e esperamos que eles verifiquem que não há espaço para os 12 cubinhos, que, como fizemos anteriormente, será necessário trocar 10 cubinhos por uma barrinha. Sugerimos que esta barrinha seja posta acima do espaço reservado às dezenas na folha tabuleiro, pois ela será associada ao “vai-um”, como ilustrado na imagem abaixo.
Neste momento passamos ao lado esquerdo da lousa e observamos que ao multiplicar 4 unidades por 3 obtemos 12, mas que não é possível escrever o 12 no espaço para as unidades do resultado da conta (pois só pode ser posto um dígito), então vamos escrever apenas o dois neste espaço e as outras 10 unidades, como formam uma dezena, deixaremos anotada sobre a conta, na coluna das unidades (o “vai-um”) para depois juntarmos com as outras dezenas que obtivermos.
Dezenas:
Agora vamos tratar das dezenas. Obtivemos um total de 6 barrinhas quando multiplicamos as duas barrinhas do 24 por três. Vamos arrumar estas barrinhas no espaço para as dezenas na folha tabuleiro, contudo devemos lembrar de acrescentar também a barrinha que veio da troca dos cubinhos. Assim, ficamos com 7 barrinhas no total.
No lado esquerdo, efetuamos: duas dezenas vezes três dá seis dezenas, somando a dezena que “guardamos no vai-um”, obtemos sete dezenas:
É fundamental que neste passo trabalhemos sempre relacionando de um lado a operação no material dourado, de outro o algoritmo, afinal, nosso objetivo é exatamente atribuir significado aos passos da operação de multiplicação pelo algoritmo usual.
Após este exemplo, recomendemos algum outro mais complicado, como 35 vezes 3 (teremos “vai-um” também das dezenas para as centenas).
Esta atividade deve ser repetida com diversos exemplos até que o professor perceba que a turma compreendeu bem o significado de cada etapa do algoritmo da multiplicação.
- Hora de registrar: As atividades da ficha de acompanhamento 2 devem ser realizadas neste momento.
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