Anne Michelle Dysman, Jéssica Rama e Marcella Candido
Este módulo instrucional destina-se ao
ensino de números primos e fatoração utilizando a Escala Cuisenaire. O
material concreto é utilizado para promover a aprendizagem
significativa, pois a comparação dos tamanhos das barras da Escala
Cuisenaire fornece um registro concreto para a ideia de múltiplo,
possibilitando a compreensão dos números primos como relacionados
àqueles tamanhos que não podem ser “decompostos” em certa quantidade de
barras com uma medida menor (não unitária). Estas atividades foram
desenvolvidas para utilização com turmas de sexto ano, como método para
rever os conceitos de número primo e fatoração. Os conceitos de
múltiplos e divisores começam a surgir neste módulo instrucional de
forma natural, preparando os alunos para as atividades dos módulos
instrucionais sobre múltiplos, mmc, divisores e mdc, também disponíveis
neste site. Caso a escola não disponha do material concreto (Escala
Cuisenaire), sugerimos uma forma de confeccionar uma versão de baixo
custo.
As atividades deste plano dividem-se em 3 etapas:
– Atividade 1: Observação de múltiplos e reconhecimento de números primos
– Atividade 2: Existência da decomposição dos naturais em fatores primos
– Atividade 3: Algoritmo da fatoração
O
trabalho aqui proposto pode ser executado de forma individual ou em
grupos (sugerimos a execução em duplas). O professor deve explicar
oralmente as atividades descritas neste plano e cada aluno deve
registrar suas observações e resultados em uma ficha do aluno (em
anexo).
Objetivos
– Explorar o conceito de número primo de
forma significativa, através do uso de materiais que dão concretude às
ideias de múltiplos e divisores.
– Introduzir os conceitos de múltiplos e
divisores de maneira natural (sem explorar muito tais conceitos)
preparando os alunos para trabalharem com os módulos instrucionais
Entendendo Múltiplos e MMC e Entendendo Divisores e MDC, nos quais tais
aprofundaremos a aprendizagem de tais conceitos.
– Ensinar o conceito de fatoração em primos e atribuir significado ao algoritmo usual para fatoração.
Materiais utilizados
– Cada grupo (ou aluno, caso seja realizada individualmente) deve receber um kit de barrinhas da Escala Cuisenaire com as quantidades discriminadas na tabela abaixo. Caso a escola não disponha deste material, é possível produzir versão de baixo custo com uso de um dos seguintes materiais: varetas pega-balão, emborrachado (E.V.A.) ou papel cartão. Par isso siga as instruções do Guia de Produção de Material Cuisenaire (versão baixo custo). – Ficha de acompanhamento (uma por aluno).
Etapas do trabalho
As atividades deste plano dividem-se em 3 etapas:
1ª atividade: Reconhecimento de números primos
2ª atividade: Existência da decomposição dos naturais em fatores primos
3ª atividade: Algoritmo de fatoração
Descrição do Material
A figura a seguir ilustra as barrinhas da Escala Cuisenaire que serão
utilizadas ao longo deste módulo instrucional. São 10 cores que
correspondem aos números de 1 a 10. Os tamanhos das barrinhas também
variam de forma proporcional ao número que representam.
Atividades
1ª atividade: Observação de múltiplos e reconhecimento de números primos
Objetivos: Introduzir
de forma natural a ideia de múltiplo através de observações com o
material concreto e possibilitar aprendizagem significativa do conceito
de número primo.
Materiais: Kit com material Cuisenaire, ficha de acompanhamento.
1º PASSO – EXPLORANDO O MATERIAL
– Deixe que os alunos manuseiem o material concreto por alguns minutos.
– Peça aos alunos que tomem uma barrinha de cada cor e que comparem as barrinhas.
– Pergunte a eles quantas barrinhas tomaram.
– Peça que ordenem por tamanho as barrinhas.
– Pergunte o que podem observar quanto aos tamanhos das barrinhas. Os
alunos devem notar que, tomando como unidade a menor barrinha (que é um
cubinho) para cada número n de 1 a 10 há uma barrinha cuja medida é
exatamente n unidades (não esperamos que os alunos expressem desta
forma, apenas que observem o fato e o relatem com suas palavras). Se
eles não observarem este fato por conta própria, peça que alinhem
barrinhas brancas ao lado de cada uma das barrinhas coloridas, de forma
que possam realizar a observação desta relação.
– Defina a menor barrinha como unidade.
– Explique aos alunos que todas as comparações agora serão feitas a
partir dessa barrinha (branca). Peça que eles completem na ficha de
acompanhamento a tabela que representa a correspondência entre o número
representado por cada barrinha e sua cor.
Hora de registrar: Exercício 1 da ficha de acompanhamento.
2º PASSO – OBSERVAÇÕES SOBRE MÚLTIPLOS E DIVISORES
– Uma cor por vez, os alunos devem tomar uma barrinha da cor da vez e
buscar alguma outra cor de tal que possamos reproduzir o comprimento da
barrinha da vez utilizado alguma quantidade de barrinhas desta outra
cor. Por exemplo, a barrinha verde-escura que representa o número 6.
Podemos substituí-la por três barrinhas vermelhas que representam o
número 2, ou por duas barrinhas verde claros que representam o número 3,
conforme ilustrado na imagem abaixo. Recomende que eles tentem realizar
este exercício sem utilizar as barrinhas brancas e só as utilizem
quando não houver outra opção.
Hora de registrar: Exercício 2 da ficha de acompanhamento. Oriente os alunos da seguinte forma: Para as barrinhas de 2 a
10 cujos comprimentos podem ser obtidos através da justaposição de
barrinhas de mesma cor, anotar ao lado do número a multiplicação
correspondente à operação realizada com as barrinhas. Por exemplo, se
para obter o comprimento da barrinha verde escuro (seis) o aluno
utilizou duas barrinhas de cor verde claro (correspondente ao número 3),
deve registrar na folha de atividades ao lado do número 6 a operação “= 2 x 3”. Nos casos em que tiveram que utilizar barrinhas brancas, devem registrar também (por exemplo: “5 = 5 x 1”)
–
Realizar a mesma verificação indicada acima para comprimentos
equivalentes aos números de 11 a 20. Para isso deve-se, sucessivamente,
justapor uma barrinha de 10 a barrinhas de 1 a 10 e, para o comprimento
obtido,
procurar um grupo de barrinhas de mesma cor que, quando justapostas
resultem no comprimento correspondente ao número em questão, como vemos
abaixo para o número 12 (a imagem abaixo ilustra “12 = 2 x 6”).
Hora de registrar: Continuação do exercício 2.
Anotar na ficha de acompanhamento as multiplicações que correspondem às
equivalências obtidas no item acima para os números de 11 a 20 (por
exemplo, se o aluno usou 3 barrinhas roxas para representar o número 12,
devem registrar ao lado do 12 “= 3 x 4”).
– Introduzir os termos múltiplos e divisores utilizando como exemplos
os produtos registrados na ficha de acompanhamento. Nesta etapa
recomenda-se que estas conceituações sejam feitas através de exemplos: 6
= 2 x 3, então 6 é múltiplo de 2 (e também de 3), pois pode ser obtido pela multiplicação de 2 por 3. Igualmente, 12 é múltiplo de 4 e de 3 porque pode ser representado pela multiplicação destes dois números. Para conceituar divisores usamos o mesmo método: 2 é divisor de 6, pois 6 pode ser dividido por 2 (sem sobrar resto). Também 3 é divisor de 6. Para 12, temos que 4 é divisor de 12 porque 12 pode ser dividido por
4 (com resto zero). Neste momento ainda não exploraremos mais
profundamente os conceitos de múltiplos e divisores (o que será
realizado nos módulos instrucionais “Entendendo Múltiplos e MMC”
e “Entendendo Divisores e MDC”).
Hora de registrar: Realizar o exercício 3 da ficha de acompanhamento.
3º PASSO – IDENTIFICANDO NÚMEROS PRIMOS
– Peça aos alunos que verifiquem para quais dos comprimentos de 1 a
20 eles não conseguiram realizar o passo anterior sem utilizar as
barrinhas que representam uma unidade. Por exemplo, para a barrinha
amarela que representa o número cinco não há nenhuma outra cor (que não
seja a branca ou a própria amarela) que, justapondo apenas barrinhas
desta cor, nos dê o mesmo comprimento. Também para o número 13, obtido
pela justaposição da barrinha laranja com a verde-claro, a única maneira
de obter seu comprimento utilizando uma única cor de barrinha é
utilizando as barrinhas brancas que representam a unidade. Os alunos
devem circular na ficha de atividades os números para os quais isto
ocorre. Abaixo vemos que é este o caso do número cinco (barrinha
amarela).
Hora de registrar: Continuação do exercício 2 da
ficha de acompanhamento: Para os números de 2 a 20 no execício 2 os
alunos devem circular aqueles que não podem ser representados como
produto de outros naturais (sem usar o 1).
– O professor deve explicar que os números circulados são chamados de
números primos e explicar que um número recebe este nome sempre que é
maior que 1 e só possui como divisores 1 e ele mesmo;
Hora de registrar: Os alunos devem responder à questão 4 da ficha de acompanhamento.
2ª atividade: Existência da decomposição dos naturais em fatores primos
Objetivos: Observar a existência da decomposição em
fatores primos para os números naturais de 2 a 20 e fazer com que os
alunos percebam empiricamente que todo natural maior que um pode ser
decomposto em fatores primos.
Material Utilizado: Ficha de acompanhamento.
– Peça aos alunos para, nas multiplicações que registraram no
exercício 2, circularem todos os números primos que encontrarem (por
exemplo, se registraram “8 = 2 x 4”, devem circular o 2);
– O professor deve propor ao aluno a seguinte tarefa: obter qualquer
dos números que não são primos na lista utilizando apenas números primos
e operações de multiplicação. Assim, por exemplo, partindo de
o aluno deve ser instruído a buscar na própria lista de números em
sua ficha uma forma de substituir o 6 por um produto de números primos.
Encontrará 6 = 2 x 3, e substituindo na multiplicação, ficará com
– Uma
vez realizado o exercício que acabamos de propor, o professor deve
explicar ao aluno que essa forma de escrever um número que não é primo
como produto de números primos chama-se decomposição do número em fatores primos (lembrar que cada termo em uma multiplicação é chamado de fator) e que, assim como ele obteve a decomposição em fatores primos de cada um dos números de 1 a 20, essa decomposição também pode ser obtida para qualquer outro número natural maior que 20.
3ª atividade: Algoritmo da fatoração
Objetivos: ensinar o algoritmo da fatoração de forma significativa.
Após as atividades 1 e 2 acima o professor deve ensinar o algoritmo
da fatoração utilizando-se, para isso, da própria ficha de
acompanhamento onde encontra-se circulada a lista de todos os primos de 1
a 20. Vamos utilizar como exemplo a fatoração do número 140.
– Pedimos aos alunos que anotem o número 140 e ao lado coloquem a barra vertical para a fatoração como na ilustração abaixo:
– Olhando na ficha de atividades, qual o primeiro primo que está
circulado? É o número dois. O número 140 é divisível por dois? Sim, 140 =
2 x 70. Então anotamos:
– Agora ficamos com o número 70. Ele também é divisível por 2? Sim, 70 = 2 x 35. Anotamos:
– E o número 35, é divisível por 2? Não. Qual o próximo primo em
nossa lista? É o número 3. O número 35 é divisível por 3? Não. Qual o
próximo primo da nossa lista? É o 5. E 35 é divisível por 5? Sim, 35 = 5
x 7. Registramos:
– Ficamos com 7, que já é primo. Logo temos:
o que significa que
140 = 2 x 2 x 5 x 7
como podemos ver no lado direito da barra da fatoração.
Hora de registrar: Como
exercício o professor deve propor que os alunos fatorem os números de
21 a 40 e completem a ficha de atividades circulando os primos entre 21 e
40 e anotando as fatorações ao lado dos números que não são primos.
Para que esta atividade seja mais dinâmica, sugerimos que o professor
sorteie alunos para fatorarem no quadro cada um destes números com ajuda
dos colegas da turma. Com uso de uma cartolina é possível também
aproveitar esta atividade conjunta par fazer uma tabela com as
fatorações destes números.
Após a realização das atividades deste módulo, os alunos estão
prontos para trabalharem com as propostas dos módulos instrucionais
Entendendo Múltiplos e MMC e Entendendo Divisores e MDC.
Jéssica Rama, Marcella Candido e Anne Michelle Dysman
O objetivo desta atividade é promover a aprendizagem de múltiplos dos números naturais e do MMC (mínimo
múltiplo comum) de forma significativa. Através de materiais concretos
(fichas e tabuleiro) trabalhamos a fatoração em primos de números
naturais conduzindo o aluno a construir a ideia de decomposição do
número em fatores primos. Este módulo instrucional dá sequência ao
módulo “Números primos e fatoração com a escala Cuisenaire”, o qual
recomendamos que seja aplicado com os alunos antes deste, pois este
depende do conhecimento prévio da fatoração em primos.
A atividade poderá ser
realizada em grupos de no máximo três alunos, mas cada aluno deverá
registrar individualmente suas observações em uma ficha de
acompanhamento.
Objetivos
Promover a aprendizagem de múltiplos dos números naturais e do MMC (mínimo múltiplo comum) de forma significativa.
– Fichas de acompanhamento fornecidas neste plano.
Etapas do trabalho
É necessário que o aluno saiba fatorar
números naturais em primos para ter boa aprendizagem do conteúdo aqui
ministrado. Caso os alunos tenham dificuldades com a fatoração
recomendamos que o professor utilize o Módulo Instrucional Números
Primos e Fatoração com a Escala Cuisenaire para ministrar assunto antes
de efetuar o trabalho aqui proposto.
1ª atividade: Descobrindo múltiplos através da fatoração em números primos
2ª atividade: Calculando MMC através da fatoração em números primos
3ª atividade: Relacionando a atividade com o algoritmo da fatoração simultânea
Atividades
1ª atividade: Descobrindo múltiplos através da fatoração em números primos
Objetivos: Rever fatoração em primos e trabalhar sobre o conceito de múltiplos dos números naturais relacionando-o à fatoração em primos.
Materiais: Tabuada e ficha de acompanhamento 1.
1º PASSO – RELEMBRANDO OS CONCEITOS DE MÚLTIPLOS, DIVISORES, PRIMOS E FATORAÇÃO.
– Relembramos para os alunos a definição
de múltiplos: Os múltiplos de um número natural são os números que
obtemos quando multiplicamos este natural por qualquer outro. Por
exemplo, para encontrarmos os múltiplos de 7, devemos multiplicá-lo pela
sucessão dos números naturais: 7×0, 7×1, 7×2, 7×3, 7×4, 7×5, e assim
por diante.
Sendo assim, alguns dos múltiplos de 7 são: 0, 7, 14, 21, 28, 35,…
– Relembramos também o conceito de
divisor de forma associada a de múltiplo: se 28 é múltiplo de 7, então 7
é divisor de 28. Utilize vários exemplos para se certificar que os
alunos compreendem bem os conceitos de múltiplos e divisores.
– Fazemos algumas perguntas aos alunos
sobre primos e fatoração: “o que são os números primos?”, “o que é a
fatoração em números primos de um número natural?”, “como fatoramos um
número natural?” Esses conceitos serão fundamentais para a realização
das atividades deste módulo instrucional.
– Após responderem à primeira pergunta,
liste os primeiros nove números primos junto com os alunos (2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19 e 23). Anote estes números em um canto do quadro para
serem usados posteriormente.
– Após responderem às outras duas
perguntas, fazemos junto com os alunos alguma fatoração. Podemos, por
exemplo, fatorar o número 24, que utilizaremos mais adiante.
2º PASSO – OBSERVAÇÃO DE MÚLTIPLOS E DIVISORES PELA TABUADA
– Vamos mostrar aos alunos como podemos identificar múltiplos com o uso da tabuada:
As tabuadas de multiplicação dos números
de zero a dez representam os onze primeiros múltiplos destes números.
Vejamos na tabuada a seguir alguns dos múltiplos do número 6:
Tabuada de Multiplicação do Número 6
6 . 0 = 0
6 . 1 = 6
6 . 2 = 12
6 . 3 = 18
6 . 4 = 24
6 . 5 = 30
6 . 6 = 36
6 . 7 = 42
6 . 8 = 48
6 . 9 = 54
6 . 10 = 60
Recorrendo à tabuada acima vemos que 12 é
múltiplo de 6 (e portanto, 6 é divisor de 12), pois 12 = 2 x 6. Para
formarmos o número 12, somamos múltiplas vezes ao número 6 (mas
precisamente, 2 vezes):
6 + 6 = 12
Observamos, contudo, que 72 é múltiplo
de 6, pois 72 = 6 x 12, mas que isto não pode ser verificado
imediatamente na tabuada usual, pois ela só nos dá os 11 primeiros
múltiplos de cada número. Então seria bom ter outro método prático para
verificar quando um número é múltiplo de outro.
Vale lembrar aos alunos que o conjunto
dos múltiplos de um número natural é infinito, pois a multiplicação de
um número natural, por um outro número natural irá produzir um dos seus
múltiplos e, como sabemos, o conjunto dos números naturais é um conjunto
infinito.
Hora de registrar: Ao final deste passo, peça aos alunos que respondam ao exercício 1 da ficha de acompanhamento 1.
3º PASSO – FATORAÇÃO E MÚLTIPLOS
No módulo instrucional Números Primos e Fatoração com a Escala Cuisenaire ensinamos aos alunos como realizar a fatoração em primos de um número natural. Agora vamos utilizar esta fatoração para encontrar todos os divisores de um natural dado (e, portanto, poderemos assim descobrir de quais outros números ele é múltiplo). Por exemplo, observe a fatoração do número 24:
Vemos que o 24 tem como divisores 2,3,4,6,8, e 12, pois os mesmos
podem ser obtidos como produto de fatores primos de 24. Isto significa
que 24 é múltiplo de 2,3,4,6,8, e 12.
Hora de registrar:
No exercício 2 da ficha de acompanhamento 1, os alunos deverão fatorar
os número dados em cada retângulo, e em seguida responder os itens a,b,c
e d de acordo com proposta descrita acima.
Com esse exercício esperamos que o aluno
perceba que pela fatoração em números primos de um número n, podemos
descobrir todos os seus divisores naturais, o que significa que
poderemos saber de quais números naturais n é múltiplo. Desta forma
podemos identificar múltiplos sem usar a tabuada. Por exemplo: O número
36 é múltiplo do 18, (pois a fatoração do 36 é 3x3x2x3, e o 18=3x2x3).
Observe que seria difícil verificar este fato diretamente pela tabuada,
já que geralmente o aluno só aprende a tabuada do número 1 ao 10.
Hora de registrar:
No exercício 3 da ficha de acompanhamento 1, os alunos deverão observar
a fatoração do número 6120 e responder às perguntas lá formuladas.
2ª atividade: Calculando MMC através da fatoração em números primos
Objetivos:
Desenvolver o conceito de mínimo múltiplo comum de dois números através
da fatoração destes em número primos. Promover a aprendizagem
significativa de MMC utilizando para isso recursos concretos.
Materiais: Kit MMC e MDC e ficha de acompanhamento 2.
Ao fatorar um número em primos o que
fazemos é efetuar uma decomposição deste número em certos fatores
especiais (números primos) que podem ser considerados como “blocos de
construção” que nos permitem compor qualquer natural. O kit que
utilizamos neste módulo instrucional se propõe a dar concretude a estes
“blocos de construção” e com isso facilitar a aprendizagem significativa
de múltiplos, divisores, mmc e mdc (divisores e mdc serão trabalhados
no próximo módulo instrucional).
1º PASSO – EXPLORANDO O MATERIAL
– Deixe que os alunos que manipulem as
fichas do material recebido e perguntem o que observam sobre elas. Eles
devem perceber que as fichas circulares representam números primos. Pode
ser que percebam também que os números nas fichas retangulares não são
primos.
– Peça para separarem as fichas circulares das retangulares, formando dois grupos de fichas.
– Desenhe na lousa o tabuleiro.
2º PASSO – ENCONTRANDO O MMC ATRAVÉS DA OBSERVAÇÃO DAS FATORAÇÕES
– Escolha duas fichas retangulares e
peça para que os alunos as coloquem sobre o tabuleiro no espaço
retangular. Começaremos com 12 e 15.
– Utilizando as fichas circulares que
contém os números primos, explique que eles deverão reescrever esses
dois números na forma fatorada, colocando as fichas utilizadas sobre o
tabuleiro. Como na figura abaixo:
– Desafie os alunos a buscarem o menor
conjunto de fichas circulares que nos permita representar tanto a
fatoração do primeiro número quanto a do segundo (uma de cada vez). Por
exemplo, no caso acima, para fatorar 12 precisamos de duas fichas 2 e
uma ficha 3. Já para fatorar 15 precisamos de uma ficha 3 e uma 5. Então
se tivermos duas fichas 2, uma 3 e uma 5 seremos capazes de escrever
tanto a fatoração do 12 quanto a do 15 (uma de cada vez). Este é o menor
conjunto de fichas que nos permitirá fazer as duas representações.
– Após obter junto com os alunos a
conclusão acima, utilize as fichas circulares selecionadas para
completar a última linha do tabuleiro e procure uma ficha retangular que
possa ser utilizada como resultado da multiplicação registrada.
Ficaremos com:
Observe que, no exemplo acima, embora a
ficha 3 apareça tanto na fatoração do 12 quanto na do 15, não é preciso
repeti-la, já que a mesma aparece apenas uma vez em cada uma das
fatorações. Esta ficha é comum às duas fatorações.
– Enfatize que o número obtido (60) é
múltiplo tanto de 12 quanto de 15 (considerando a relação entre
múltiplos e fatoração trabalhada no segundo passo da atividade 1).
– Proponha aos alunos que tentem,
retirando alguma das fichas circulares selecionadas, obter um outro
número que não seja zero e que também seja múltiplo do 12 e do 15. Faça
com que percebam a impossibilidade de ter sucesso nesta busca.
– Conclua que 60 não apenas é múltiplo de 12 e 15, como também é o menor número que é múltiplo comum a 12 e 15.
– Defina o MMC a partir da atividade desenvolvida:
“O menor múltiplo comum (MMC) de dois números naturais é o menor número natural não nulo que é múltiplo dos dois números dados”
Logo, o MMC de 12 e 15 é 60. Denotamos:
MMC(12,15) = 60
– Peça aos alunos que realizem esta
atividade para os exemplos a seguir. Cada um deles deve ser registrado
através do preenchimento de um tabuleiro na ficha de acompanhamento 2.
Hora de registrar: Cada um dos exemplos abaixo deve ser registrado em um tabuleiro da ficha de acompanhamento 2.
1) MMC(4,6)
4 = 2 x 2
6 = 2 x 3
A solução esperada é: 2 x 2 x 3 = 12
2) MMC(6,10)
6 = 2×3
10 = 2×5
A solução esperada é: 2 x 3 x 5 = 30
3) MMC(8,9)
8 = 2x2x2
9 = 3×3
A solução esperada é: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72
– Após o exemplo acima pergunte aos alunos se observaram algo de
especial com este caso. Devem reparar que 8 e 9 não possuem nenhum fator
primo em comum. Nesse caso é fácil observar que o MMC deve ser o
produto dos dois números (já que todas as fichas circulares usadas para
compor os dois números são necessárias para representar o MMC).
– Defina primos entre si e enuncie a propriedade observada sobre o MMC de primos entre si:
Dois números naturais que não
possuem nenhum fator primo em comum são chamados primos entre si. O MMC
de dois números primos entre si é o produto destes números.
– Outros exemplos a serem trabalhados pelos alunos:
4) MMC(2,7)
2 = 2
7 = 7
A solução esperada é: 2 x 7 = 14
Observar que 2 e 7 são primos entre si.
5) MMC(5,10)
5 = 5
10 = 2 x 5
A solução esperada é: 2 x 5 =10
Após este exemplo, o professor deve levar os alunos a observarem que
sempre que um número natural é múltiplo de outro, o número maior é o MMC
dos dois.
O professor pode propor outros exemplos caso note que os alunos não estão dominando a atividade proposta.
3ª atividade: Calculando MMC através da fatoração simultânea em primos
Objetivo: Ensinar de forma significativa o algoritmo
da fatoração simultânea relacionando-o com o método para encontrar MMC
visto nas atividades anteriores.
Uma vez que nos certifiquemos que os alunos compreenderam o
conceito de MMC e o método usado nas atividades anteriores para obtê-lo,
vamos relacionar este procedimento já visto com o algoritmo da
fatoração simultânea, processo usual para encontrar o MMC de dois
naturais dados.
Vamos trabalhar ao mesmo tempo com o tabuleiro e as fichas e com o
algoritmo da fatoração para garantir que a relação entre os dois métodos
fique clara. Seguimos com um exemplo que mostra como este trabalho deve
ser realizado. Vamos calcular o MMC de 12 e 15.
A ilustração abaixo mostra o tabuleiro e o primeiro passo do algoritmo:
Podemos
ver sublinhados em azul e em verde os resultados após a primeira
divisão, tanto no algoritmo quanto no tabuleiro. Os números que abaixo
aparecem riscados no tabuleiro devem ter suas fichas retiradas do
tabuleiro à medida que as divisões vão sendo efetuadas; na lousa o
professor deve cortá-los como acima. Seguem as etapas que dão
continuidade ao trabalho:
Hora de registrar: Agora
seguem outros exemplos a serem desenvolvidos pelos alunos, mas desta
vez usando a ficha de acompanhamento 3 e trabalhando simultaneamente com
o kit e com o algoritmo da fatoração simultânea:
Jéssica Rama, Marcella Candido e Anne Michelle Dysman
O
ensino de MDC (menor divisor comum entre dois números naturais)
frequentemente reduz-se ao método de cálculo de MDC conhecido como
algoritmo de Euclides. Este método é bastante prático pois permite que
se encontre o MDC em poucos passos e sem a necessidade de fatorar os
números. Contudo, trata-se de um método que não põe em evidência o
significado do MDC e que geralmente é simplesmente memorizado pelos
alunos sem maior compreensão do que estão fazendo. Assim, mais uma vez
os alunos repetem um método sem entender por que funciona e, mais ainda,
muitas vezes, nem mesmo entendem realmente o que é o MDC.
Por outro lado, encontrar o MDC por fatoração é algo que não traz muita
dificuldade e que, se trabalhado adequadamente, promove também a
compreensão do próprio significado do máximo divisor comum. Esta é a
razão pela qual nesta atividade optamos pela fatoração para trabalhar o
conceito de MDC e não abordamos o algoritmo de Euclides. Caso o
professor deseje trabalhar tal algoritmo, sugerimos que o faça após
desenvolver atividades com fatoração e MDC como as propostas neste
módulo e que aborde o algoritmo de Euclides por uma perspectiva
investigativa (uma vez que já saibam o que é o MDC e como este é
calculado por fatoração, tente levá-los a investigar porque funciona o
algoritmo de Euclides). Esta proposta para trabalhar o algoritmo de
Euclides pode ser especialmente interessante para alunos que apresentam
facilidade para atividades que exigem raciocínio matemático formal.
O objetivo deste módulo
instrucional é promover a aprendizagem de múltiplos dos números
naturais e do MMC (mínimo múltiplo comum) de forma significativa.
Através de materiais concretos (fichas e tabuleiro) trabalhamos a
fatoração em primos de números naturais conduzindo o aluno a construir a
ideia de decomposição do número em fatores primos. Este módulo
instrucional dá sequência ao módulo “Números primos e fatoração com a
escala Cuisenaire”, o qual recomendamos que seja aplicado com os alunos
antes deste, pois este depende do conhecimento prévio da fatoração em
primos.
A atividade poderá ser
realizada em grupos de no máximo três alunos, mas cada aluno deverá
registrar individualmente suas observações nas fichas de acompanhamento.
Objetivos
Promover a aprendizagem de divisores dos números naturais e do MDC (máximo divisor comum) de forma significativa.
– Fichas de acompanhamento fornecidas neste plano.
Etapas do trabalho
É necessário que o aluno saiba fatorar
números naturais em primos para ter boa aprendizagem do conteúdo aqui
ministrado. Caso os alunos tenham dificuldades com a fatoração
recomendamos que o professor utilize o Módulo Instrucional Números
Primos e Fatoração com a Escala Cuisenaire para ministrar assunto antes
de efetuar o trabalho aqui proposto. Recomendamos também que sejam
desenvolvidas as atividades do módulo instrucional Entendendo Múltiplos e
MMC como preparação para esta atividade. Se essa recomendação for
seguida, a primeira atividade deste módulo poderá ser realizada de forma
muito mais sucinta, visto que é praticamente idêntica à primeira
atividade do módulo sobre MMC.
1ª atividade: Descobrindo divisores através da fatoração em números primos; 2ª atividade: Calculando MDC através da fatoração em números primos.
Atividades
1ª atividade: Descobrindo divisores através da fatoração em números primos
Objetivos: Rever fatoração em primos e trabalhar sobre o conceito de divisores dos números naturais relacionando-o à fatoração em primos.
Materiais: Canetas coloridas (tipo hidrocor) ou lápis de cor ou de cera colorido, ficha de acompanhamento 1.
1º PASSO – RELEMBRANDO OS CONCEITOS DE MÚLTIPLOS, DIVISORES, PRIMOS E FATORAÇÃO.
– Relembramos para os alunos a definição
de divisores: Os divisores de um número natural são aqueles números
pelos quais podemos dividir o número dado obtendo resto zero nesta
operação.
Por exemplo, 4 é divisor de 12, pois ao dividirmos 12 por quatro obtemos resto zero (sendo 3 o resultado da divisão).
É importante lembrar que um número
natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6
poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos
números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.
2º PASSO – FATORAÇÃO E DIVISORES
Através da fatoração de um número em
primos é possível descobrir quais os divisores do número dado. Por
exemplo, observe a fatoração do número 12:
É importante ressaltar aos alunos que todo número natural é divisível por 1 e por ele mesmo.
Portanto, seus os divisores do número 12 são: 1, 2, 3, 4,6 e 12.
Abaixo temos outro exemplo, com o número 30.
Seus divisores são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
Reproduza este exemplo com seus alunos e
os oriente para que resolvam a questão 1 da ficha de acompanhamento 1
seguindo este modelo. Em seguida devem resolver as outras questões da
ficha 1.
Hora de registrar: Ficha de acompanhamento 1.
2ª atividade: Calculando MDC através da fatoração em números primos
Objetivos:
Desenvolver o conceito de máximo divisor comum de dois números através
da fatoração destes em número primos. Promover a aprendizagem
significativa de MDC utilizando para isso recursos concretos.
Materiais: Kit MMC e MDC e ficha de acompanhamento 2.
Ao fatorar um número em primos o que
fazemos é efetuar uma decomposição deste número em certos fatores
especiais (números primos) que podem ser considerados como “blocos de
construção” que nos permitem compor qualquer natural. O kit que
utilizamos neste módulo instrucional se propõe a dar concretude a estes
“blocos de construção” e com isso facilitar a aprendizagem significativa
de múltiplos, divisores, mmc e mdc.
1º PASSO – EXPLORANDO O MATERIAL
– Deixe que os alunos que manipulem as
fichas do material recebido e perguntem o que observam sobre elas. Eles
devem perceber que as fichas circulares representam números primos. Pode
ser que percebam também que os números nas fichas retangulares não são
primos. (Caso o professor já tenha trabalhado sobre o módulo
instrucional “Entendendo Múltiplos e MMC” com seus alunos, este passo
pode ser pulado.)
– Peça para separarem as fichas circulares das retangulares, formando dois grupos de fichas.
– Desenhe na lousa o tabuleiro.
2º PASSO – ENCONTRANDO O MDC ATRAVÉS DA OBSERVAÇÃO DAS FATORAÇÕES EM PRIMOS
– Escolha duas fichas retangulares e
peça para que os alunos as coloquem sobre o tabuleiro no espaço
retangular. Começaremos com 180 e 140.
– Utilizando as fichas circulares que
contém os números primos, explique que eles deverão reescrever esses
dois números na forma fatorada, colocando as fichas circulares
utilizadas sobre o tabuleiro. Como na figura abaixo:
– Desafie os alunos a buscarem o maior
conjunto de fichas circulares que estão presentes tanto na fatoração do
primeiro número quanto na do segundo. Por exemplo, no caso acima, para
fatorar 180 usamos duas fichas de 2, duas fichas de 3 e uma ficha de 5.
Já para fatorar 140 precisamos de duas fichas de 2, uma de 5 e uma de 7.
Então o maior conjunto de fichas que aparece tanto em uma quanto na
outra fatoração contém duas fichas de 2 e uma de 5 (já que as fichas 3 e
7 aparecem apenas em um dos números). Logo o número que obtivemos é 20.
– Após obter junto com os alunos a
conclusão acima, utilize as fichas circulares selecionadas para
completar a última linha do tabuleiro e procure uma ficha retangular que
possa ser utilizada como resultado da multiplicação registrada.
Ficaremos com:
– Enfatize que o número obtido (20) é
divisor tanto de 180 quanto de 140 (considerando a relação entre
divisores e fatoração trabalhada no segundo passo da atividade 1).
– Proponha aos alunos que tentem,
acrescentando fichas circulares, obter um outro número que também seja
divisor do 180 e do 140. Faça com que percebam a impossibilidade de ter
sucesso nesta busca.
– Conclua que 20 não apenas é divisor de 180 e 140, como também é o maior número que é divisor comum a 180 e 140.
– Defina o MDC a partir da atividade desenvolvida:
“O maior divisor comum (MDC) de dois números naturais é o maior número natural que é divisor dos dois números dados”
Logo, o MDC de 180 e 140 é 20. Denotamos:
MDC(180,140) = 20
– Peça aos alunos que reproduzam esta
atividade para os exemplos a seguir. Cada um deles deve ser registrado
através do preenchimento de um tabuleiro na ficha de acompanhamento 2.
Hora de registrar: Cada um dos exemplos abaixo deve ser registrado em um tabuleiro da ficha de acompanhamento 2.
1) MDC(4,10)
4 = 2 x 2
10 = 2 x 5
O fator comum é o 2, logo mdc(4,10) = 2
2) MDC(15,18)
15 = 3×5
18 = 2x2x3
O fator comum é o 3, logo mdc(15,18) = 3
3) MDC(12, 28)
12 = 2 x 2 x 3
28 = 2 x 2 x 7
Os fatores comuns são 2 e 2 logo mdc(12, 28) = 2 x 2 = 4
4) MDC(15, 28)
15 = 3 x 5
28 = 2 x 2 x 7
Sobre este exemplo é importante fazer as seguintes observações:
Não há fatores primos comuns. Como vimos no módulo instrucional Entendendo Múltiplos e MMC:
Dois números naturais que não possuem nenhum fator primo em comum são chamados primos entre si.
O MDC de dois números primos entre si é sempre igual a 1.
– Outros exemplos a serem trabalhados pelos alunos:
5) MDC(5,18)
5 = 5
18 = 2 x 3 x 3
Observe que não há fatores primos comuns. Neste caso dizemos que esse
números são primos entre si, pois o máximo divisor comum entre eles é
1.
6) MDC(14,28)
14 = 2 x 7
28 = 2 x 2 x 7
Os fatores comuns são 2 e 7, logo mdc(14,28) = 2 x 7 = 14
7) MDC(18, 90)
18 = 2 x 3 x 3
90= 2 x 3 x 3 x 5
Os fatores comuns são 2, 3 e 3, logo mdc(18, 90) = 2 x 3 x 3 = 18
Após este exemplo vale observar que sempre que um número é divisor de
outro número o MDC entre os dois coincide com o menor número. Pergunte
aos alunos por que isso acontece.
8) MDC(54, 120)
54 = 2 x 3 x 3 x 3
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
Os fatores comuns são 2 e 3, logo mdc(54,120) = 2 x 3 = 6
9) MDC(22, 121)
22 = 2 x 11
121 = 11 x 11
O fator comum é o 11, logo mdc(22,121) = 11
O professor pode propor outros exemplos caso note que os alunos ainda não estão dominando a atividade proposta.
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